Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Программисту -> Бабенка К.И. -> "Основы численного анализа" -> 70

Основы численного анализа - Бабенка К.И.

Бабенка К.И. Основы численного анализа — НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 c.
ISBN 5-93972-162-1
Скачать (прямая ссылка): osnovichislenogo2002.djv
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 324 >> Следующая

Выберем константу С из условия
71-1
t„(x; /) + Csn(x) = ап sin(ra:r — а) + ^^(<Zfc cos ^х + sm ^:E)'
fe=o
где коэффициент an, не обязательно неотрицательный. Соответствующее значение коэффициента С обозначим через Со и положим
tn(x; /) = tZttxJ Sn[X) ,+C0sn(x). (22)
^ 2tg[{x-xk)/2\s'n(xk)
В классе тригонометрических полиномов степени га вида р(ж) = = Ъп sin(ra:r — а) + ... полином tn(x; /) единственный. Предположим противное, и пусть полином q(x) решает ту же задачу интерполяции, т. е. q{xk) = f{xk) (к = 1, 2, ..., 2га). Тогда q(x) - tn(x; f) = Asn(x), а из сравнения коэффициентов при cos rare и sin rare следует, что А = 0.
Задачи. 11. Пусть xi, ..., хп — узлы, 0 х\ < х2 < ¦ ¦ ¦ < хп < тт и / G С- [0, 7г]. Докажите, что нечетный интерполяционный полином степени п имеет вид
77
Чх1 /) = У~] f(xk)~.-тпк{х).
sin хк
к=1
12. Покажите, что интерполяционный полином t ? Т271-1 с узлами в точках Хк = (а + к-к)/п (к = 1, 2, ..., 2п — 1) имеет вид
Л = 2nsin[a;/2-a/(2n)] ^ sin [ж/2 - (ттк + а)/(2п)] ^Хк)'
§ 1. Некоторые вопросы теории приближений
171
13. Пусть в(х) — произвольный полином степени не больше п, в(х) = ап 81п(пх — а) -\-Ъп сов(пх — а) + т(х) (т е Т2П-1). Покажите, что
s(x) = t(x; s) +
sin(na; — a)
¦ ~^2( — l)ks(xt) + on sin(na; — a).
2ntg[x/2-a/(2n)] ^ 14. Используя результат предыдущей задачи, покажите, что
V 2п 15. Докажите, что
s{Xk)
An
k=0
![тг(2/с- l)/(4n)]
2n
-У-
An ^-^ ,
4n^sin2[7r(2fc-l)/(4n)]
16. (неравенство Бернштейна). Докажите, что если в(х) — тригонометрический произвольный полином степени не больше п, то
^ га|в|оо-
17. Пусть / 6 С+[0, 7г], /(ж) = ^ + 5^ ось совкх, и допустим, что \ап\ ^
* = 1
^ Ск~2 (к = 1, 2,...). Докажите, что если р(х; /) — полином, определяемый формулой (19), то
f(x) — р(х; /) = 2 cos пх
-(Зо + ?/3fc cos /еж
(23)
где /З», = yj(-l)'afe+(2i+i
)n-
18. Пусть f(x) 6 C_[0, 7r], f(x) = ^2 Oiksinkx, и допустим, что \an\ ^
^ Ck~3. Докажите, чго если q(x; /) — полином, определяемый формулой (20), то
f(x) — q(x; f) = 2sinna;
(24)
где f3k = afc+(2i+i)n-1=0
5. Влияние гладкости функций на скорость убывания их наилучших приближений (периодический случай). Мы дали исчерпывающую характеристику алгебраическим многочленам, наименее уклоняющимся от заданной функции / є С[а, Ь]. Однако до сих пор не решен вопрос о поведении Еп(/) при п | оо. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
172
Глава 3. Элементы теории приближений
Теорема 5 (Вейерштрасса). Пусть D — замкнутая область в R' и / G C[D\. Для любого е > О существует многочлен Р{х) от переменных х\, ..., xi (ж = (х\, ..., ж;)') такой, что |/ — Р|оо ^ е.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы, а уточним, о каких многочленах идет речь. Пусть k, п — мультииндексы: к = = (ki, ..., ki) (kj G Z), п = (rii, щ) (rij G Z). Положим хк = ,'. В теореме Вейерштрасса речь идет о многочленах вида
Р(х) = ? акхк, (25)
где п — 1 = {п\ — 1,, ..., rij — 1), а неравенство 0 ^ к ^ п — 1 означает, что выполняются покомпонентные неравенства 0 ^ kj ^ тг^ — 1 С? = 1, 2, ..., О-
Аналогичная теорема имеет место для функций на /-мерном торе Р1 = S1 х ... х S1, если их аппроксимировать тригонометрическими многочленами от I переменных.
Теорема 6. Пусть / ? С[Р1]. Для любого е > О существует тригонометрический полином от I переменных
t(x) = ? ckexp{ikx} (26)
такой, что / — ?|оо ^ ?•
Поясним формулу (26): в ней кх = к\Х\ + ... + к{Х% и в силу вещественности многочлена t(x) имеем с-к = ей, где —к = {—кг, ..., —к{). Сложность многочлена естественно измерять числом его коэффи-
I
циентов. Так, в случае многочлена (25) это число равно N = \\ rij,
i=i
i
а в случае многочлена (26) N = \\ (2rij — 1). Желая связать погреш-
j=i
ность аппроксимации е с N, рассмотрим приближение элементов различных функциональных компактов. Прежде всего исследуем приближение дифференцируемых периодических функций одной переменной.
Мы установим два вспомогательных предложения, на которых будет основываться доказательство теоремы о приближении дифференцируемых функций. Выше мы рассматривали ядро Дирихле, которое играет огромную роль в теории рядов Фурье. Теперь познакомимся еще с одним замечательным тригонометрическим полиномом — ядром Фейера. Рассмотрим
к=0 к=0 у ' '
§ 1. Некоторые вопросы теории приближений
173
Умножим числитель и знаменатель Dk(x) на 2sin(a;/2) и, заменяя в числителе произведение синусов разностью косинусов, получим
v^- „ . . v^- cos кх — cos(fc + 1)х к=о к=о (2sin(x/2)j
_ 1 - cos(ra + 1)ж _ 1 rsin(n + 1)ж/2"| 2 (2sin(a;/2))2 ~ 2 L sin(x/2) J
Ядро
называется ядром Фейера.
Предложение 2. Пусть
сю
а0
= — + е] afc cos кх.
к=1
сю
причем ряд ^ \ак\ сходится. Допустим, что последовательность {ак}
к=1
удовлетворяет условиям.
1) А2ак =ак- 2ак+1 + ак+2 > О, к = 0, 1,...;
2) /сДо^ = /с(аг;+1 — а к) —> 0 иры /с | оо;
3) E(fc + l)A2afc <
fe=0
Тогда ^(ж) ^ 0.
Замечание. Несложно доказать, что условие 1) влечет условия 2), 3). Однако для упрощения доказательства мы ввели дополнительно условия 2), 3).
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 324 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100