Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Программисту -> Бабенка К.И. -> "Основы численного анализа" -> 243

Основы численного анализа - Бабенка К.И.

Бабенка К.И. Основы численного анализа — НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 c.
ISBN 5-93972-162-1
Скачать (прямая ссылка): osnovichislenogo2002.djv
Предыдущая << 1 .. 237 238 239 240 241 242 < 243 > 244 245 246 247 248 249 .. 324 >> Следующая

(1 + В-\кР)? = Д„, где Р„ = (г„(х0), г„(х2П))'- Отсюда
(І-ХкС)І = (І + В)-1Ііп и, согласно результату задачи 5 § 5,
\(1-ХкС)Цж </Г0|Д»|оо.
2п+1
Раскладывая вектор ? по векторам Є;, получим ? = ^ о^е^, и поэтому
і=і
2п+1
(/ - \кС)? = ? (1 - \кр.і)азЄі.
3 = 1
Таким образом,
/2п+1 \ Х12
\{І-ХкС)І\2=\^{\-\кРз?0^ .
Из этого соотношения вытекают неравенства
\{І~\кС)І\2 ^ШІП|1-ЛЙ№||||2,
І
/ \ 1/2
\(І-\кС)?\2>5к X)
а2
(П)
которые нам послужат для доказательства неравенств, указанных в теореме. Ниже будем пользоваться очевидными неравенствами, справедливыми для любого вектора:
|»?|оо ^ \ri\2 ^ -^2тг + 1|г7|оо. (12)
6. О решении задачи на собственные значения
643
Для оценки снизу убедимся с помощью несложной выкладки, что
2га + 1-
- / D„(x — хи] a)D„(x — xi\ a) dx ¦ a J
Поэтому
" 2n
j Pn(x; yk)dx = 2n+1 /^Ук(
Xl) =
а l&l2
?|2-
2ra + 1
(13)
Чтобы не было путаницы, обозначим через || • ||р (1 ^ р ^ оо) норму в функциональном пространстве Ьр[0, а]. По неравенству треугольника |-Рп||2 ^ |2//с||2 — — |/?тг( • ; Ук)\\2, и поскольку \\р( ¦ ; Ук)\\2 ^ л/а\\рп( ¦ ; Ук)\\ао, то, используя неравенство Лебега, получим
\\Рп\\2 ^ \\Ук\\2 - л/а(1 + Шп)&2п+1(Ук)-
Из асимптотической формулы для собственных функций рассматриваемой задачи следует, что
-1/2\
Ук = cos(^/\kx + <Рк) + 0{\ ), откуда
\\ук\\2 = [а/2 + 0(а\-1/2)]1/2,
и, значит, при к ^ ко получим \\ук\\2 ^ \fa~j2. При к < ко, согласно нашей нормировке, ||j/fc||2 ^ 'Уо^/а, и можно считать, что 70 ^ 1/2. Таким образом, при га ^ rao(fc)
\\Pnh ^ \А(7о - (1 + Wn)S2n+i(yk)) ^ 7oVa/2,
и, стало быть, соотношение (13) дает неравенство |<*|2 ^ 7ол/2га + 1/2. Первое неравенство (11) и правое неравенство (12) дают
2 2
min |1 - \kpi\ ^ —|(/ — AfeC)^)^ ^ —K0\Rn\oo. i 7о 7о
Из второго неравенства (11) и левого неравенства (12) получим I °М ^ 5k-1KoV2lT+T\Rn\<x,,
и поэтому
(14)
?- ^2 mei —
?]=(J.J оо ОО
1/2
откуда
С- E ai?l
< б'1 K0V2n~+T\Rn
(15)
644
Глава 9. Численное решение краевых задач
Замечая, что
и применяя неравенства Лебега и (15), получим
Ук(х) - ^2 щР(х; еі) = ук(х) - Рп(х; ?) + Р„ \ х; ?
Ук(х) - ^2 0'іР{х; ei) ^ (1 + oJn)S2n+i(yk) + ш„5к
л/2п + 1\Р,
¦п | оо •
(16)
Учтем, что из (10) следует неравенство
|-Rn|oo < (1 + Wn)[(l + ^~2Afe)(o2n+l(?/fe) + 'S2n+l{qyk)]-
Принимая во внимание соотношение (14), получим первое неравенство теоремы с а = 2_К"о/7о- Из (16) и последнего соотношения вытекает второе неравенство
Замечание 1. Доказанная теорема позволяет утверждать, что предлагаемый метод не имеет насыщения.
Замечание 2. Результат теоремы остается в силе и для антипериодической задачи.
При доказательстве теоремы мы существенно использовали структуру матрицы С — ее симметричность. Вместе с тем ранее отметили, что в случае задачи (2), (3) мы ее сводим к конечномерной задаче, матрица которой не является строго симметрической. Как же быть в этом случае?
В данном конкретном случае можно провести углубленное изучение структуры матрицы Со и получить теорему об априорной оценке погрешности вычисляемых собственных значений и собственных функций. Но это не выход из положения, поскольку часто приходится сталкиваться с несамосо-пряжсппыми задачами, и мы имеем дело с такими матрицами, которые, по существу, далеки от симметрических или нормальных. Как тогда поступить? Выход из положения (по мнению автора) состоит в том, что нужно получать апостериорные оценки погрешности. Как это делать? Ниже на примерах будет частично разъяснена техника получения апостериорных оценок. Она основывается в значительной мере на предварительном исследовании гладкости отыскиваемого решения.
3. Апостериорные оценки погрешности. Условимся через y,j обозначать собственные значения конечномерной задачи. Ниже приведены примеры задач на собственные значения.
Пример 1. Задача (2), (3) на отрезке [0, 7г] с потенциалом q(x) = 2 cos 2х, р(х) = 1, а = (3 = 1, (3 = 5 = 0. Это случай уравнения Матье. В табл. 1 приведены расчеты для числа узлов п = 10, 20. В ней же в последней колонке приведены табличные значения Айнса [74].
Пример 2. Периодическая задача для уравнения Матье на отрезке [0, 2п] с потенциалом q(x) = 2 cos 2х. Число узлов N = 2п + 1 = 21.В табл. 2 в средней колонке приведены собственные значения, полученные в результате расчета, а в последней колонке указаны табличные значения Айнса [74].
теоремы с (3 = Ко-
?
6. О решении задачи на собственные значения 645
Таблица 1. Собственные значения уравнения Матье
3 п Табличные значения Айнса [74]
10 20
1 -0,1102 -0,1102488169 -0,1102488
2 3,916 3,917024773 3,9170248
3 9,06 9,047739256 9,0477393
4 15,9 16,03297006 16,0329701
5 25,8 25,0208410 25,0208408
6 36,0142897 36,0142899
Таблица 2. Собственные значения уравнения Матье
3 Задача Табличные значения Айнса [74]
периодическая антипериодическая
1 -0,4551386041 -0,4551386
2 -0,1102488170 -0,1102488170 -0,1102488
3 1,8591080723 1,8591080725 1,8591081
4 3,9170247733 3,9170248
5 4,3713009831 4,3713010
Предыдущая << 1 .. 237 238 239 240 241 242 < 243 > 244 245 246 247 248 249 .. 324 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100