Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 51

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 .. 53 >> Следующая


Переход же системы S из состояния S2 в состояние S1 (по стрелке <—) происходит под воздействием уже не простейшего потока, а потока Эрланга 4-го порядка и потому случайная величина Г(4) — время восстановления банкомата распределена по закону Эрланга 4-го порядка (15.1), в котором [і — интенсивность исходного простейшего потока, просеиванием которого образуется поток Эрланга 4-го порядка. Тогда, как известно (см. (7.5)), случайная величина является суммой четырех независимых случайных величин, распределенных по показательному закону

213

f(t) = Хе'и = 2e~2t, t> 0.

fm(t) = net>0,

(15.2)

с одним и тем же параметром ц. 214

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Так как процесс, протекающий в системе S, не является марковским, то для вероятностей состояний системы S мы не можем написать ни системы дифференциальных уравнений Колмогорова, ни системы линейных алгебраических уравнений.

Чтобы приближенно заменить этот процесс марковским, заменим состояние S2 четырьмя последовательными псевдосостояниями:

S20 — выявляется причина неисправности банкомата; sf — причина неисправности найдена, ремонт начинается;

sf> — ремонт продолжается; sf — ремонт заканчивается.

В граф истинных состояний системы S вместо состояния S2 вводится именно четыре псевдосостояния потому, что переход системы S из состояния S2 в состояние S1 порождается потоком Эрланга 4-го порядка.

Время пребывания системы S в каждом из псевдосостояний 4'', sf > s23), Sj4) будем считать распределенным по показательному закону (15.2) с параметром fi=24. Тогда размеченный граф с псевдосостояниями будет иметь следующий вид (см. рис. 15.2).

!---------

: S2

s<" —^ s<2) —^ sf —^ Sf —

Полученный таким образом псевдопроцесс будет уже марковским, поскольку все потоки событий, порождающие переходы системы S из состояния в состояние, будут уже пуассоновскими. Из графа на рис. 15.2 видно, что этот процесс является циклическим.

S2

„(2) Ц > г(3) ц >
S2 S2 A2 S2

§15. Замена немарковских процессов марковскими методом псевдосостояиий о -і с

_„, - — - —¦ ¦ ~ -_- - '.....-_ 215

Обозначим через PVP2\р'2\Pi2 \P2 предельные вероятности пребывания системы S соответственно в состояниях

Sj, Sj \ S2 \ S2 \ S2 \ S2. (15.3)

Обозначим через (S=S2) событие, состоящее в том, что система S находится в состоянии" S2. Аналогичный смысл имеют обозначении (S = 4°), /=1,2,3,4. Очевидно, что события ( 5=S20 ), i=l, 2,3,4, несовместны и их объединение представляет собой событие (S^s2). Поэтому по теореме сложения вероятностей

4

Pi = YjP?- (15.4)

Пусть Tv T2*, Г23), T^, Ti — средние времена пребывания системы S (подряд) соответственно в состояниях (15.3). Тогда

TJ=A1; (15.5)

7^=7^=7^=7^=^-'; (15.6)

T2 = JT?=^- (15.7)

м

Ткк как рассматриваемый псевдопроцесс является марковским циклическим, то для нахождения финальных вероятностей состояний PvP2^,Pi2}>Р23)>P2i^P2 можем применить формулу (13.4) при и=5, используя при этом (15.7), (15.6), (15.4),

P1 +7^4^+7^+7^)-1 =7;(7;+f,)"1;

¦р?=ТУ(їі+їгУ1={ї2ІЩ+ї2У-, і=1,2,3,4; (15.8)

Рг = ?/4° = 4" (f2/4)(7j + T2) = f2(ft + f2)"'.

M 216

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Таким образом, полученные для P1 и р2 формулы показывают, что вероятность пребывания в каждом из двух истинных состояний, как и для марковского процесса, равна относительному среднему времени пребывания (подряд) в каждом из этих состояний.

Подставляя в формулы (15.8) вместо средних времен Ti и T2 их выражения через интенсивности потоков соответственно по формулам (15.5) и (15.7), окончательно найдем:

_1 1 ^ P Pl д+4Я'

А р

-А 1 _ 4А Рг~ р А+4. ~ р+и' А р

Для нахождения численных значений предельных вероятностей Pi и р2 подставим в эти формулы А=2 и ц=24; получим:

P1=O,75; р2=0,25.

Итак, при длительный эксплуатации банкомата он будет исправно работать с вероятностью р= 0,75 и требовать ремонта с вероятностью р2=0,25. ¦

Краткие выводы

В реальной финансово-экономической практике марковские процессы в чистом виде встречаются довольно редко, поскольку будущее системы, так или иначе, зависит от ее прошлого. Поэтому при анализе различных немарковских финансово-экономических процессов возникает задача приближенной замены их на марковские процессы. §15. Замена немарковских процессов марковскими методом псевдосостояний

217

• Приближенная замена немарковских процессов марковскими эквивалентна замене непуассоновских потоков событий пуассоновскими.

• Замена непуассоновских потоков пуассоновскими становится реальной, если непуассоновский поток событий можно (хотя бы приближенно) считать потоком Эрланга некоторого натурального порядка (выше первого).

• Замену немарковских процессов марковскими можно осуществить методом псевдосостояний.

Ключевые слова и выражения

Немарковский процесс; марковский процесс; непуассоновский поток событий; пуассоновский поток событий; поток Эрланга; замена немарковских процессов марковскими; замена непуассоновских потоков пуассоновскими; метод псевдосостояний; показательный закон распределения; закон распределения Эрланга; параметр показательного закона распределения.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100