Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 46

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 53 >> Следующая


Проведем следующие элементарные преобразования строк: 2-ю строку прибавим к 3-й; полученную 3-ю строку прибавим к 4-й и т.д.; полученную (и-2)-ю строку прибавим к (и-1 )-й; и, наконец, полученную (и-1 )-ю строку прибавим к п-й. В результате получим матрицу

-A12 0 0 0 ... 0 0 Ahl
A52 -Агз 0 0 ... 0 0 0
A52 0 -A34 0 ... 0 0 0
A52 0 0 -A45 ... 0 0 0
A52 0 0 0 ... 0 -V1,, 0
A12 0 0 0 ... 0 0 -Anl

Первая и последняя строки полученной матрицы пропорциональны и потому одну из них, например первую, можно удалить. В результате получим матрицу

A52 A23 0 0 .. 0 0 0
A52 0 -A34 0 .. 0 0 0
A12 0 0 -A4S .. 0 0 0
A12 0 0 0 .. 0 1л 0
^A52 0 0 0 . 0 0 -к

Система уравнений, соответствующая этой матрице, будет иметь вид

A12P1 -A23P2 = 0;
A12A -A34P3 =0;
A12P1 -A45P4 = 0;

^i2A=0;

A12A-AnlPn=O. §13. Циклические процессы

191

Из (й-І)-го уравнения этой системы, к=2,..., п, можно выразить P1 через р,:

Рі=~-Рі. к = 2.....п, (13.3)

АМ+1

где Aniltl=A1,,. Подставляя эти выражения в нормировочное условие (11.7), получим

A + lTa-A=t 1=2 Лі.і+1

откуда

A= A12

i 1=1 лі.і+і

Подставляя это выражение P1 в равенства (13.3), получим доказываемые формулы (13.2). ¦

В формулах (13.2) финальные вероятности выражены через плотности вероятностей перехода А., но их можно выразить и через средние времена Ti пребывания системы S (подряд) В 1-м СОСТОЯНИИ Si (1=1, ..., п).

Теорема 13.2. Финальные вероятности р,.....рпсосто-

яний системы S, в которой протекает циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем, выражаются через средние времена Ti пребывания системы (подряд) в состоянии Si следующим образом:

A=^iu

k = l,...,n. (13.4)

Доказательство: Рассмотрим «поток уходов» IIyx i системы 5 из состояния Si. Если система 5 находится в состоянии Sjt то при появлении первого после настоящего момента времени события потока Ilyx t система мгновенно перескакивает в состояние s.+1 (если і=п, то в силу цикличности процесса мы полагаем, что sn+=st) (см. рис. 13.1). Пусть Г непре- 192

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

рывная случайная величина, представляющая собой промежуток времени между соседними событиями в потоке Uyxi , в течение которого система S находится в состоянии s.. Так как процесс, протекающий в системе 5, — однородный марковский, то (см. § 5) поток IIyx і — простейший, а потому (см. (5.15))

* = 1>-."• (13.5)

где Tj- математическое ожидание М[Т\ случайной величины Tj, представляющее собой среднее время пребывания системы 5 (подряд) в состоянии S.. Подставляя (13.5) в (13.2), получим (13.4). ¦

Формула (13.4) позволяет трактовать финальную вероятность^ как долю среднего времени пребывания системы 5 в состоянии sk. Другими словами, финальные вероятности/упрямо пропорциональны средним временам T1 с коэффициентом пропорциональности .следовательно,

Pi-P2-----P„=T1:T2:...:f„,

т.е. финальные вероятности состояний системы, в которой протекает циклический процесс, относятся как средние времена пребывания системы подряд в каждом из состояний.

Пример 13.1. Электронный банкомат в операционном зале банка может находиться в одном из следующих состояний:

51 — исправен, работает;

52 — неисправен, отключен, ведется поиск неисправно-

сти;

53 — причина неисправности найдена, ремонтируется;

54 — ремонт закончен, подготавливается к включению.

Предполагается, что все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, — простейшие. Среднее время безотказной работы банкомата (подряд) равно 6,5 суток. Поиск неисправности банкомата длится в среднем 45 мин. После обнаружения неисправности на ремонт банкомата уходит §13. Циклические процессы

193

в среднем 4 часа. После окончания ремонта банкомат подготавливают к включению для работы в среднем в течение 1 часа. Найдем финальные вероятности состояний банкомата.

В качестве системы 5 рассмотрим исследуемый банкомат. Поскольку все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, простейшие, то в системе S протекает однородный марковский процесс. Из графа состояний системы 5, который изображен на рис. 13.3, видно, что данный процесс является циклическим.

K=(Tli)-'

Средние времена Tv T2, T3 и T1 пребывания системы 5 соответственно в состояниях S1, S2, S3 и S4 представляют собой средние времена соответственно безотказной работы, поиска неисправности, ремонта и подготовки к включению банкомата, т.е. Ti = 6,5 (суток); T2 =45 (минут)=0,03125 (суток); T3 =4 (часа) = 0,16667 (суток); Ti =1 (час) = 0,04167 (суток).

Имеем

( < -T1

[??; =(6,5+0,03125+0,16667+ 0,04167)"1 =0,14838.

Тогда по формулам (13.4) при и=4

Pi =Ti j =6,5 0,14838 = 0,96447;

P2 = 0,03125-0,14838 = 0,00464;

P3 = 0,16667-0,14838 = 0,024672;

P4 =0,04167-0,14838=0,00617.

7 — 2246 194

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Таким образом, в установившемся финальном стационарном режиме банкомат будет работать исправно с вероятностью P1=0,96447, близкой к единице. Банкомат хорошего качества. ¦
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100