Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 41

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 53 >> Следующая


Система (11.1) решается при начальном распределении вероятностей р,(0), ..., ря(0), удовлетворяющих нормировочному условию P1(O)+... +Pn(O)=I. Решение системы (11.1) также должно удовлетворять нормировочному условию Pl(Jt)+...+pn(t)=\ в любой момент времени t.

Из графа состояний однородного процесса гибели и размножения (см. рис. 11.1) непосредственно усматривается эргодичность системы 5. Поэтому из марковости процесса, по теореме 10.1, вытекает существование финальных вероятностей СОСТОЯНИЙ P1, ..., Pn.

Теорема 11.1. Финальные вероятностиpt, ...,рп процесса гибели и размножения с непрерывным временем можно вычислить по следующим формулам:

p\(t) = -X 12р,(0+Я 21р2(0, Pk(t)=-(Я + Я kMl )pk(t)+Я +

(ИЛ)

+Яы,л+1(0> к = 2.....и-1,

p'n(t)=-X п>„-іРя(^)+я ^nPn-St )-

(112)

Pt= оск -P1, k = 2,...,n,

где

k = 2,...,n. (U.3)



"21

Доказательство: Составим по одному из трех правил, данных в §10, систему линейных алгебраических уравнений: ^gg Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

-A12P1H-A21P2=O1 ' -(A«., +AtJt+1)p*+At_1JtpM +Awjtpw= 0, k = 2,...,n-l, (11.4)

(сравните с системой дифференциальных уравнений (11.1)).

Матрица коэффициентов системы (11.4) будет иметь следующий вид

Н» к, 0 0 0 0 0 0 "
К -к к 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 Ли.я-2 0
0 0 0 0 0 1 К,* і
0 0 0 0 0 0 -V,.

Для упрощения вида этой матрицы проведем следующие элементарные преобразования ее строк: 1-ю строку прибавим ко 2-й; полученную 2-ю строку прибавим к 3-й; и т.д.; полученную (я-1)-ю сроку прибавим к п-й строке. В результате получим матрицу

Столбцы 1 2 3 4 .. п-2 п-1 -1
Строки I
1 A21 0 0 0 0 0 Л
2 0 -A23 Аз2 0 0 0 0
3 0 0 -к A43 0 0 0
п-2 0 0 0 0 ¦ А„-1л-2 0
п-1 0 0 0 0 0 -Afc-іл Abj^1
п 0 0 0 0 0 0 0
/

последняя (п-я) строка которой — нулевая, и потому ее можно отбросить.

Таким образом, предельные вероятности состояний р,,..., рп удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений, соответствующей матрице (11.5): Sil. Процесс гибели и размножения

171

-X I2Pi+X21P2=Q,

"Я 23P2 + Я 32P3 - 0.

-^34^3+^43^4 =0'

........................................... (116)

-Я п-2.п-\Рп-г + Я = 0,

-Л *-1,пРП-1+Xn^1Pn= 0

и нормировочному условию

P1+P2+...+Рп= 1. (11.7)

Из 1-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.3) при k=2 _ X12 _

P2~~j,—Л -CC2Pv (11.8)

A21

Из 2-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.8) и (11.3) при ?=3

" А 23

-Т~Р\-азР\- (11.9)

32 " 21

Из 3-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.9) и (11.3) при

A12 ¦ Aoo • Aoi

Л =" J J P1 =aiPt,

43 ' 32 ' 21

и так далее

А = /"-у--^ р. =а„р,. (11.10)

Таким образом, мы доказали справедливость формулы во второй строке (11.2). Для доказательства формулы в первой строке (11.2) подставим (11.8), (11.9), (11.10) в нормировочное условие (11.7)

P1+Gt2P1+...+GtnP1 = I,

откуда получим требуемое равенство

А=[1+І>*

V *=2 У 172

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Правая часть формулы (11.3) устроена следующим образом: в числителе стоит произведение плотностей вероятностей переходов Xjjt начиная с A12 и кончая At l к, где второй индекс к множителя At (k совпадает с индексом ак, причем первый индекс каждого множителя Aij-, начиная со второго A23, совпадает со вторым индексом предыдущего множителя; в знаменателе стоит произведение множителей A^ получающееся из произведения в числителе, если в последнем у каждого множителя А.. поменять местами индексы: Ajr

В терминах матрицы плотностей вероятностей переходов Л правая часть формулы (11.3) представляет собой отношение произведения элементов наддиагонали к произведению элементов поддиагонали квадратной матрицы к-то порядка, составленной из первых к строк и первых к столбцов матрицы Д.

В терминах размеченного графа состояний системы S (см. рис. 11.2) правая часть формулы (11.3) есть дробь, числитель которой представляет собой произведение всех плотностей вероятностей переходов по стрелкам слева направо, начиная с первого и кончая к-м состоянием, а знаменатель суть произведение всех плотностей вероятностей обратных переходов по стрелкам справа налево с состояния St до состояния S1.

В формулах (11.2) все финальные вероятности P1,..., рп выражены через финальную вероятность ру Можно было бы при решении системы (11.6) выразить их через любую другую финальную вероятность.

Часто нумерацию состояний системы S начинают не с единицы, а с нуля: s0, s(,..., sn. В этом случае формулы (11.2) и (11.3) приобретают соответственно вид:

)

где

Po= _ .. .

(11.11)

А=<ЗД>. к = 1,...,п,

A01-А,2-.., A k=i п (И12)

AtJt-I ' ' —' yMO §11. Процесс гибели н размножения

173

Пример 11.1. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 руб. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну такую акцию, нас будут интересовать следующие ее пять состояний, характеризующихся рыночной ценой акции:
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100