Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 32

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 53 >> Следующая


Из состояния S12 (банкомат B1 исправен, а банкомат B2 ремонтируется) система S может перейти в состояние S22 (оба банкомата ремонтируются) под воздействием потока отказов банкомата B1; поэтому плотность вероятности этого перехода равна интенсивности At=4 указанного потока.

Плотности вероятностей переходов у других стрелок определяются аналогичными рассуждениями.

Вероятности того, что оба банкомата одновременно выйдут из строя или оба банкомата одновременно росстановят-ся, или одновременно один банкомат откажет, а другой восстановится пренебрежимо малы и потому не оказывают существенного влияния на протекающий в системе S процесс. В силу этого на графе (рис. 8.1) отсутствуют диагональные стрелки S11-W22, s22—»su, s21—»s12 и S12-W21. 128

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Если пронумеровать состояния системы S, например, следующим образом: S11- первое, S12- второе, S21- третье, S22-четвертое, а плотность вероятности перехода из г-го состояния Bj'-oe (і, j= 1,2,3,4) обозначить через Aij, то матрица плотностей вероятностей переходов будет выглядеть следующим образом

A12 Лз A14 fO 3 4
к A22 Kz к 2 0 0 4
к ^32 ^33 к 5 0 0 3
^41 A42 A44 Kij 0 V 5 2 0 J

Поскольку потоки отказов и восстановлений, под воздействием которых происходят переходы системы S из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе S, является марковским, причем с дискретными состояниями и непрерывным временем. Тогда, обозначая вероятности состояний S11, S12 S21 и S22 соответственно через pn(t), Pl2(t), p2l(t) И P22(Jt) (не путать с обозначениями переходных вероятностей, см. § 2), мы можем составить для них либо по графу (рис. 8.1), либо по матрице (см. § 4) систему дифференциальных уравнений Колмогорова (см. (4.4))

= -(A2 + A, )pn(t)+p2p12(t)+p,p2l(t), ^^- = -{p2+\)pl2(t)+kj)n(t)+pj)22(t), = -(? + ^)P2l(0+^lPll(t)+p2p22(t),

или, подставляя сюда значения A1, A2, pv р2, получим §8. Связь пуассоиовских потоков событий

с дискретными марковскими процессами с непрерывным временем

129

Фп(0

dt

=-lpn(t)+2pn(t)+5p2i(t),

foM = 3pn(t)-6p12(t)+5p22(t), ^l=APii(t)-8p2i(t)+2p22(t),

dp2-At) dt

= Apn(t)+3pn(t)-7p.n (i).

(8.4)

В начальный момент времени t=0 система находилась в состоянии si2. Поэтому начальные условия, при которых нужно решить систему (8.4), имеют вид

Ри(°)=0; P12(O)=I; P21(O)=O; P22(O)=O.

(8.5)

Нормировочное условие (4.1) при я=4 в данном случае примет вид

Ри(0+Р12(0+P2,(О+P22(О = 1. ^ о,

из которого

Pnit)=і - P11 (О - р,2(0 - P21 (О. t > о.

(8.6)

Подставив (8.6) во второе и третье уравнения системы (8.4) и отбрасывая четвертое уравнение, получим неоднородную систему трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

^M = -I Pii(t)+2pi2(t)+5p2i(t), dpi2(f)

dt



(8.7)

^?"=2 P1! (t) - 2 pi2 (t) -1 Op21 (t)+2.

dt

Решим сначала соответствующую системе (8.7) однородную систему 130

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

=-7 Pu(t)+2pa(t)+5 p2l (t),

dt

&&l=2Pn(t)-Upi2(t)-5p21(t),

dt dp2i(t)

(8.8)

dt

= 2Pll(t)-2pl2(t)-l0p2l(t).

Решение будем искать в виде показательных функций

PniO = Уиеш, Pn(f) = У12ем, P21 (О = У21еш. (8.9)

После подстановки (8.9) в (8.8), сокращения на е", переноса правых частей уравнений в левые и приведения подобных слагаемых, получим однородную линейную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными У Il' У12' Ун

(7+0))7,,-27,2-5/,,=0, 2Уи+(11+й>)7І2 +Sy21=O1 —і + 2у12 +(10+(O)Y21 = 0.

(8.10)

Характеристическое уравнение системы (8.8) выглядит следующим образом

7 -ко -2 -5 2 11+ю 5 -2 2 10+ю

=0,

(8.11)

где в левой части стоит определитель системы (8.10). Раскрывая этот определитель и делая приведение подобных слагаемых, получим относительно to кубическое уравнение

а3 + 28й) + 24 Itu+630 = 0.

(8.12)

Обозначим левую часть уравнения (8.12) через <р((о) <р((0)=ю3 + 28ю2+24 Uo+630. §8. Связь пуассоиовских потоков событий

с дискретными марковскими процессами с непрерывным временем

131

Так как <р(си) многочлен приведенного вида (т.е. старший коэффициент — коэффициент при «у3 — равен 1) с целыми коэффициентами, то его корни надо искать среди целых делителей свободного члена 630. Нетрудно проверить, что ?)(-5)=0. Следовательно, ф(со) делится на двучлен со+5

CJ3 + 28cj2 + 24 ICJ+630 cJ+5
CJ3+5CJ2 CJ2 +23cj+126
23CJ2 + 241CJ+630
~ 23cj2 + 115cj
126О+630
126О+630

0

Найдем корни полученного в частном от деления квадратного трехчлена а2 + 23(0+126. По теореме Виета:<у(=-14, а>2=—9 Следовательно,

to2 + 23а+126=(®+14)(cj+9)

и, значит,

«>(«) = (®+14)(cj+9)(CJ+5).

Подставив это в уравнение (8.12), получим (CJ+14)(cj+9)(CJ+5) = 0,

откуда

CJ1 = -14, (O2 = -9, (O3 = -5. (8.13)

Ранг системы (8.10) при w, равном одному из значений (8.13), равен 2, поскольку при a>=a>v со2, а>ъ определитель системы (8.10) равен нулю (см. (8.11)), а, например, определитель, составленный из коэффициентов при уи и у21 в последних двух уравнениях системы (8.10),
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100