Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 31

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 53 >> Следующая


Теорема 8.1. Плотность вероятности перехода A„(i) системы S из состояния Si в состояние Sj в момент времени t под воздействием пуассоновского потока П.j равна интенсивности X(t) этого потока

VO=MO- (8-і)

Доказательство: Вероятность pj(t,At) того, что система S, находившаяся в момент времени t в состоянии Sp за промежуток времени от t до t+At перейдет из него в состояние S. (см. § 4) равна элементу вероятности pft,At) появления события в пуассоновском потоке П.. на элементарном участке от ідо t+At (см. Определение ix 11). Но (см. (4.3))

Pij(KAt)^Xij-At, (Д?-»0), (8.2)

а (см. (6.9))

Pi(V7At) = W)-At, (Дг->0). (8.3)

Поскольку левые части равенств (8.2) и (8.3) равны, то равны и правые

Xs(t)At = X(t)At, откуда получаем равенство (8.1). Теорема доказана. ¦

Отмеченная выше связь между дискретными марковскими процессами с непрерывным временем и пуассонов- §8. Связь пуассоиовских потоков событий

і март

125

скими потоками событий раскрывается в следующем утверждении.

Для того чтобы случайный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе с дискретными состояниями, был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими (стационарными или нестационарными — безразлично).

В силу этого утверждения системы, в которых протекают дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем, называют пуассоновскими системами.

Используя указанную связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем, исследование процесса целесообразно проводить по следующему алгоритму:

1. Описать каждое возможное состояние системы.

2. Составить граф состояний, в котором стрелками указать только возможные непосредственные переходы системы из состояния в состояние.

3. Разметить составленный граф, указывая у каждой стрелки возможного непосредственного перехода системы S из состояния S1 в состояние Sj интенсивность A.j(t) потока событий IIjj, под влиянием которого осуществляется этот переход.

4. Указать начальное состояние системы (при t=0).

Пример 8.1. В операционном зале банка установлены два банкомата B1 и B2, предназначенные для операций с пластиковыми карточками. Каждый из банкоматов независимо от другого может «отказывать» (выходить из строя). Предположим, что поток отказов банкомата B1 — пуассоновский с интенсивностью А, =4 (отказа в квартал), поток отказов банкомата B2 — также пуассоновский с интенсивностью Я2=3 (отказа в квартал). Каждый банкомат после отказа сразу начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток окончаний ремонта, т.е. поток восстановлений банкомата B1 — пуассоновский с интенсивностью (восста- 126

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

новлений в квартал), поток восстановлений банкомата B2 — пуассоновский с интенсивностью P2=2 (восстановлений в квартал).

Построить размеченный граф состояний системы, в качестве которой мы рассматриваем оба банкомата; сформировать матрицу плотностей вероятностей переходов этой системы из состояния в состояние; составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей этих состояний; определить начальное распределение вероятностей, если в начальный момент времени t=О банкомат B1 работал исправно, а банкомат B2 находился в ремонте; решить составленную систему дифференциальных уравнений Колмогорова при определенных начальных условиях и найти вероятности состояний во втором квартале от начала анализа, т.е. в момент t=2.

Подчеркнем, что потоки отказов понимаются в теоретическом смысле, т.е. события в каждом из этих потоков -отказы, а между отказами предполагается, что банкомат работает исправно. Аналогичное замечание относится и к потокам восстановлений: событиями в каждом из потоков восстановлений являются восстановления (т.е. окончания ремонтов банкоматов), а между событиями банкомат ремонтируется.

Рассматриваемые пуассоновские потоки имеют постоянные интенсивности, а потому являются простейшими.

Состояние исправности банкомата будем обозначать индексом 1, а состояние ремонта - индексом 2. Состояния системы 5 будем обозначать Sjj, i,jG{l, 2}, где первый индекс і обозначает состояние исправности при і=1 или состояние ремонта при і=2 банкомата Bv а второй индекс j —состояние исправности, если j= 1, или состояние ремонта, если У= 2, банкомата B2. Система S может находиться в следующих состояниях:

511 — оба банкомата исправны;

512 — банкомат B1 исправен, а банкомат B2 ремонтируется;

521 — банкомат B1 ремонтируется, а банкомат B2 исправен;

522 — оба банкомата ремонтируются. $8. Связь пуассоиовских потоков событий

і процессами с непрерывны!

127

Размеченный граф состояний системы S изображен на рис. 8.1.

Я2=3

S11 U



Я,=4

Ii1=2

А,=4

-і А,=3

ИГ 5



^21 _I S2;

цг=2

Рис. 8.1

Из состояния S11 (оба банкомата исправны) в состояние S12 (банкомат B1 исправен, банкомат B2 ремонтируется) система S может перейти под воздействием потока отказов банкомата B2,и потому на основании теоремы 8.1 плотность вероятности этого перехода равна интенсивности Л2=3 этого потока. Обратный переход из состояния S12 в состояние S11 осуществляется под воздействием потока восстановлений банкомата B2 и, следовательно, плотность вероятности этого перехода равна интенсивности ^2=2 потока восстановлений банкомата B2.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100