Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 20

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 53 >> Следующая


е"** =I-A-Ai (Дг-»0).

Подставляя это приближенное равенство в (5.12), завершаем доказательство формулы (5.11). ¦

Замечание 5.2. Правую часть формулы (5.10) в общем случае нельзя по аналогии с формулой (5.11) преобразовать в выражение At, поскольку в общем случает — длина произвольного временного промежутка, в то время как в формуле (5.11) At — длина достаточно малого временного промежутка.

Для лучшей обозримости полученные формулы, характеризующие случайную величину Х(т), сведем в таблицу 5.1.

Другой важной характеристикой простейшего потока является непрерывная случайная величина T — промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока. f 5. Пуассоновский стационарный (простейший) поток событий 77

Таблица 5.1. Характеристики случайной величины Х(т)

№ п/п Характеристики Формулы № формулы в тексте
1 Интенсивность простейшего потока Я
2 Закон распределения Пуассона случайной величины Х(г) (т=0,1,2,...); (5.1)
3 Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке не наступит ни одного события р0(т)=р(Х(т)=0)=,Гл' (5.7)
4 Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит менее k (?=1, 2, 3,...) событий р(Х(т)<*)=<Гл'1^ S т\ (*=1,2,3,...) (5.8)
5 Вероятность того, что за промежуток времени г в потоке наступит не менее k (?=1, 2, 3,...) событий *=о mI (*=1, 2, 3, ...) (5.9)
6 Вероятность того, что за промежуток времени T в потоке наступит хотя бы одно событие р(Х(т)>1)=1-ел* (5.10)
7 Элемент вероятности появления события Pl(At)^XAt, (дг-»о) (5.11)
8 Математическое ожидание случайной величины Х(г) и к * (5.2)
9 Дисперсия случайной величины Х(г) ?>[Х(т)]=Лт (5.2)
10 Среднее квадратическое отклонение величины Xff) а[Х(т)]=у/И (5.3) 78

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Аналитические выражения основных характеристик случайной величины Г даются в следующей теореме.

Теорема 5.3. В простейшем потоке с интенсивностью Л для случайной величины Т:

1) интегральная функция распределения F(t)=p(T<t), (t>0), т.е. вероятностьp(T<t) события «T<t», состоящего в том, что промежуток времени T между двумя любыми соседними событиями будет меньше t, равна 1-еЛ т.е.

F(t) = l-e-*, (i>0); (5.13)

2) дифференциальная функция распределения (или плотность распределения)

f(t)=F\t) = h!* {t>0); (5.14)

3) математическое ожидание (средний интервал времени между двумя соседними событиями)

f=M[T]=Pi1-, (5.15)

4) дисперсия

D(T)=Ar2-, (5.16)

5) среднее квадратическое отклонение

а[Т]=А1. (5.17)

Доказательство: Пусть tQ — момент наступления какого-либо события в рассматриваемом потоке. От точки t0 отложим вправо временной участок длины ?>0 (см. рис. 5.3). Событие, состоящее в том, что интервал T будет меньше t, эквивалентно событию, состоящему в том, что на участке (tw if0+t) появится хотя бы одно событие. Поэтому вероятности этих событий равны: p(T<t)=p(X(t)> 1) и, следовательно, в силу (5.10) получаем формулу (5.13) для t>0. f 5. Пуассоновский стационарный (простейший) поток событий

79

Если t=0, то событие «Г<0» является заведомо ложным и поэтому его вероятность F(t)=p(T<0)**0. Правая часть равенства (5.13) также равна нулю при t=0. Значит, формула (5.13) справедлива и при t=0.

to t0+t

• т 9 •-

Рис. 5.3

Формула (5.14) получается дифференцированием (по t) формулы (5.13).

По определению математического ожидания непрерывной случайной величины (см., например, [5], с. 121)

M[T]J\tf(t)dt. о

Подставляя сюда найденное выражение f(t) по формуле (5.14), получим

M[T]~\tЬе-* dt.

о

Проинтегрируем по частям: положим, u=t, v=-e k,\ тогда du=dt, dv=AeXt dt, следовательно, имеем

M[T\=^udv = w]-\vdu=t(-e-u)\+\e'udt =

0 0O 0O

=-]iiateu-k-leu~\=X-\

о

и равенство (5.15) доказано.

По определению дисперсии непрерывной случайной величины (см., например, [5], с. 122), используя (5.15), будем иметь

D[T]=Jit-Mit])2-f(t)dt =JVi - /(t)dt-2A"2+A-2J/(t)dt. (5.18) 0 0 0 80

Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

Первый интеграл в правой части этого равенства проинтегрируем по частям: положим, v=-e~u, du=2tdt, dv=Ae~lt dt\ тогда

]t2f(t)dt = t2(-eu )\ + 2\іе"(Ь = 2Х-1 JtAe" = 2A"2. (5.19)

0 0O о

По определению дифференциальной функции распределения /ft), используя (5.13), получим

X-2]f(t)dt = X-2F(t)] = X-2(l-eM)\=X-2 ¦ (З-2») о 0 0

Подставляя (5.19) и (5.20) в (5.18), завершим доказательство формулы (5.16).

Формула (5.17) следует из (5.16) по определению среднего квадратического отклонения о[Г]=^D(T). я

Следствие 5.2. Вероятность р (T>t) того, что промежуток времени T между двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t, вычисляется по формуле

pp>t)=eu (t>0). (5-21>

Доказательство: События «T<t» и «T>t» противоположны. Поэтому p(T<t)+p(T>t)=i. Отсюда и из формулы (5.13) получаем требуемое равенство (5.21). ¦

Определение 5.12. Закон распределения с плотностью, задаваемой формулой (5.14), называется показательным (или экспоненциальным), а величина Я называется параметром этого закона.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100