Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Лабскер Л.Г. -> "Вероятность моделирование в финансово-экономической области" -> 15

Вероятность моделирование в финансово-экономической области - Лабскер Л.Г.

Лабскер Л.Г. Вероятность моделирование в финансово-экономической области — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 c.
ISBN 5-94599-038-8
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnoemodelirovanie2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 53 >> Следующая


I правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение Колмогорова для функции pft) (i=l,..., и), надо в ле-

dpft)

вой части этого уравнения записать производную —^—

функции pft), а в правой — произведение - Jjk9 pft)

U1 /

суммы X^!) плотностей вероятностей переходов Aij у стрелок, выходящих из состояния Sj, на вероятность pft) этого

Il

СОСТОЯНИЯ СО знаком минус, ПЛЮС сумму X ^J (О произведений Aji p.(t) плотностей вероятностей переходов Ajj, соответствующих стрелкам, входящим в состояние Sjt на вероятности СОСТОЯНИЙ Pj(Jt), из которых эти стрелки выходят. При этом плотности вероятностей переходов Aij, соответствующие отсутствующим на графе стрелкам, равны нулю.

Пример 4.2. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная по размеченному графу на рис. 4.2, будет выглядеть следующим образом



dt

=-KPAO+КрАО+КРЛО,

dt



dt

=-(К + К )Pi (О+КріІ*)+КР-І W



dt

П правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов 58

Вероятностное моделирование в финат

їсти

Для составления дифференциального уравнения Колмогорова для функции p.{t) (i=l,..., я) надо в левой части

dt

этого уравнения записать производную

функции

п і п

рft), а в правой — произведение - ^A4, суммы

элементов А і-ой строки матрицы Л на вероятность p.(t) состояния Sj (номер которого совпадает с номером взятой

п

строки) CO знаком минус, плюс сумму ?Pj(t) произве-

J=1

дений "KjiPjff) элементов Aji і-го столбца на соответствующие им вероятности Pj(Jt).

Пример 4.3. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная, например, по матрице плотностей вероятностей переходов

Л =

имеет следующий вид

Го 6

1,5

2 3} 0 0 4 0

^^ = -5а (O+6P2 (0+ !.5/? (0-

dt dp2(t)

=-6p2(t)+2Pl(t)+4p3(t),

dt

dt

Начальные условия системы дифференциальных уравнений Колмогорова определяются заданным распределением вероятностей состояний системы в начальный момент времени ?=0:/7,(0), ...,рп(0), удовлетворяющих нормировочному условию (4.1). Если в начальный момент времени система S находится в состоянии sm, тЄ{ 1,..., я}, то из нормировочного условия (4.1) получаем такое начальное распределение вероятностей

A(O) = O,...,P^1(O)=O,р„(0)=1,Рп+1(0)=0,...,р„(0) = 0. S 4. Дискретный марковским сяучаниыи процесс с непрерывным временем 59

Определение 4.6. Систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно входящих в нее производных искомых функций, называют системой, имеющей нормальную форму Коши а задачу нахождения неизвестных функций этой системы, удовлетворяющих указанным выше начальным словиям, — задачей Коши.

Таким образом, для системы дифференциальных уравнений Колмогорова (4.4) (как и для систем в примерах 4.2 и 4.3), имеющих нормальную форму Коши, ставится задача Коши.

Пример 4.4. Для изучения надежности эксплуатации счетчика банкнот TECHNITROL 940, который мы примем за систему S, рассмотрим следующие три его состояния: S1 — счетчик исправен, но не находится в состоянии эксплуатации, S2 — счетчик исправен и находится в состоянии эксплуатации, S3 — счетчик не находится в состоянии эксплуатации по причине неисправности.

Будем предполагать, что счетчик банкнот может выйти из строя только во время его эксплуатации. На данном этапе изучения ремонт неисправного счетчика не предполагается (так что состояние S3 является ловушкой). Будем также считать, что изменения плотностей вероятностей переходов системы S из состояния в состояние пренебрежимо малы, т.е. плотности вероятностей переходов практически не зависят от времени (тем более, если промежуток времени, в течение которого мы анализируем работу

1 Коши Огюстен Jlyu (І789-1857) — французский математик, член Института Франции (с 1816 г.), работал на сооружении военного порта в Шербуре (1810-1813), профессор Политехнической школы (с 1816 г.), Сорбонны (1816-1830), Коллеж де Франс (1848-1857), почетный член Петербургской академии наук (с 1831 г.); написал более 700 математических работ, в которых заложил основы теории функций, математического анализа, математической физики; в теории дифференциальных уравнений ему принадлежит заслуга постановки одной из основных ее задач, носящей ныне его имя, — задачи Коши. 60

Вероятностное моделирование в финансово-экономической обяасти

счетчика банкнот, не очень велик). Размеченный граф состояний системы дан на рис. 4.3.

-И 5S

Рис. 4.3

Требуется найти вероятности состояний счетчика в момент t= 1, если в начальный момент t= 0 счетчик банкнот был исправен, но не эксплуатировался.

Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний S1, s2, S3, то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем. Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояние счетчика в будущем существенно зависит от его состояний в настоящий момент времени и несущественно — от его состояний в прошлом. Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 53 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100