Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 8

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 73 >> Следующая

_ 1 п _ 1 и
где у = х =
Л/=1 Л/=1
На множестве возможных значений случайной величины У величина (1.21) является также случайной. Чтобы можно было по ней судить о корреляционной связи величин УиХ, нужны статистические характеристики самой величины (1.21) или какой-либо иной величины, но функционально связанной с гПусть такой величиной (часто говорят — статистикой) является некая величина у = у(Рух). Тогда последующий анализ проводится по достаточно типовым для подобных исследований схемам.
В рассмотрение вводятся две гипотезы:
Но: корреляционная связь между У и X отсутствует (гух = 0);
Н]: величины УиХкоррелированы (гухф 0).
Любое последующее решение проблемы сопровождается двумя возможными ошибками:
ошибка первого рода — принять гипотезу Н], когда в действительности справедлива гипотеза Но;
ошибка второго рода — принять гипотезу Но, когда в действительности справедлива альтернатива Hj.
Обозначим через а = ДНіІНо) вероятность ошибки первого рода, через (3 = P(Ho|Hj) — вероятность ошибки второго рода. Величина 1-а является условной вероятностью правильного решения при выполнении гипотезы Но, аналогично 1 — (3 есть вероятность правильного решения при условии, что справедлива гипотеза Ht. Величину а часто называют уровнем значимости критерия, величину 1 — Р — мощностью критерия.
Решение задачи должно сводиться к обоснованному выбору одной из двух гипотез: Но или Н] на основе значения величины у, полученного ПО эмпирическим данным (Уі, JC|), (у2, Jt2>, ..., (у„, хп). Величина ує R, где R, как обычно, множество всех вещественных
23
чисел. Тогда геометрически решение можно интерпретировать так: множество возможных значений величины у, т.е. R, следует разбить на два подмножества Го и Гі (Го и Г] = R) так, чтобы наилучшим в некотором смысле образом из условия ує Го следовало принятие гипотезы Но, а при условии ує Г і предпочтение отдавалось гипотезе Н). Чтобы формализовать этот замысел, прежде всего нужно выявить смысл словосочетания «наилучшим образом», т.е., по существу, сформулировать критерий оптимальности, закладываемый в процедуру решения задачи. Возможны следующие варианты (п. 1.5.2 — 1.5.5).
1.5.2. Критерий идеального наблюдателя
Уже отмечалось, что любое решение задачи сопровождается ошибками первого и второго рода с соответствующими вероятностями а и (3. Если известны априорные вероятности р$ и р\ справедливости гипотез Но и Hi соответственно (иначе можно принять ро= Pi = 0,5), то величина ро<х + р$ будет безусловной вероятностью ошибочного решения. Первое слагаемое здесь является безусловной вероятностью ошибки первого рода, т.е. вероятностью выполнения двух событий: справедлива гипотеза Но с априорной вероятностью ро, но принимается гипотеза Н і с условной вероятностью а. Аналогична структура второго слагаемого. Очевидно, решение задачи целесообразно искать так, чтобы безусловная вероятность ошибочного решения оказалась наименьшей. Это значит, что подмножества Го и Гі (или только Г], так как Го = R \ Tj) следует находить в процессе решения оптимизационной задачи
P(fL + /?iP —» min. (1.22)
Условие (1.22) называют критерием идеального наблюдателя (иногда — критерием Котельникова). Рассмотрим его более внимательно.
Пусть известны условные плотности вероятностей со(у|Но) и Сй(у|Ні) величины у соответственно при выполнении гипотез Но и Hi. Тогда
а= | а>(у |H0)dy, J ©(ylH^dy,
г, г0
24
и условие (1.22) переписывается так:
р0 J (о(у | H0)dy + рх J со(у | Н] )dy -> min.
Поскольку
J ©(У I Hi )dy = {о)(у | Н] )dy + J co(y|H1)dy = l,
R
Г,
оптимизационная задача может быть записана в новой редакции:
Чтобы эта целевая функция была минимальна, значение интеграла должно быть максимальным. Это достигается, если подмножество Гі выбрано так, что во всех принадлежащих ему точках подынтегральная функция неотрицательна, т.е.
Таким образом, если при найденном по эмпирическим данным значении величины у выполняется неравенство (1.23), то принимается гипотеза Hj. При противоположном неравенстве предпочтение отдается альтернативе Hq. Лаконично это записывается так:
Выражение (1.24) совместно с правилом вычисления у представляет собой алгоритм решения задачи по критерию идеального наблюдателя.
1.5.3. Критерий Неймана - Пирсона
Второй возможный подход к решению задачи основывается на так называемом критерии Неймана — Пирсона. Его целесообразно применять в тех случаях, когда последствия от ошибок первого и второго рода не являются равноценными. В этих случаях ре-
Р\ ~ \ (РМУI Hi ) - />о(о(у | Н0 ))dy -> min. П
рхсо(у |Нj) - /?()(о(у |Н0) > 0.
(1.23)
ю(УІНі) Pi 1 о)(у|Н0)
(1.24)
25
шение задачи ищут таким образом, чтобы вероятность одной из ошибок оказалась ограниченной некоторой малой величиной, а вероятность второй при этом приняла наименьшее значение. Например,
—> min при ро<х = 8 = const, (1-25)
где 5 — выбранная малая величина.
Эти условия и формируют критерий Неймана — Пирсона. «Рычагом» их реализации по-прежнему является выбор оптимальных подмножеств Го и Г). Задача (1.25) относится к классу задач на условный экстремум и решается методом неопределенных множителей Лагранжа. С этой целью составляется функция Лагранжа
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100