Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 68

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 .. 73 >> Следующая

Определение П1.3. Пустьy(t), teT— непрерывная или кусочно непрерывная функция, определенная не непрерывном множестве Т, и {/q, t\, /2, ...}с.Т — дискретное подмножество точек из Т, причем tn+1 — tn = const, « = 0, 1,.... Тогда функция
f 1 = 1^’ t = tn' п = 0’2’
К t*tn
называется решетчатой.
220
С решетчатыми функциями связывают ряд понятий, уподобляющих их непрерывным. В частности, функцию
АуМ =у\п+ 1] - Ял]
называют первой разностью, или разностью первого порядка решетчатой функции и рассматривают как своеобразный аналог производной от непрерывной функции. Первую разность первых разностей принято называть второй разностью (второго порядка) и обозначать
Д 2у[п] = Ау[п + 1] — ДЯЛ1-
Подобным образом первую разность (к - 1) - х разностей определяют как к-ю разность
Д*Я«] = Д к~ху[п + 1] — Д*_1Ял].
Воспользовавшись методом математической индукции, несложно убедиться, что к-я разность выражается непосредственно через значения решетчатой функции по правилу
Дку[п] = ? (-1)С*УЛл + к - V], СІ = . (П1.14)
v=0 v!(A: - v)!
и наоборот,
y[n + q} = ? С'А'у[п].
/=0
Функцию Y[n], для которой AY[ri\ = у[п], называют первообразной функции y(t). Справедлив непосредственно проверяемый результат:
Г [л] = Xі ЯЛ + с,
/=о
где с = const, в частности с = 0.
Пусть у[п] — неизвестная решетчатая функция, х[п] — известная. Тогда алгебраическое соотношение, связывающее разности различных порядков функций у[п\ и х[п\, называют разностным уравнением. Если разности выразить в соответствии с (П1.14), уравнение окажется записанным в терминах самих решетчатых
221
функций. Распространенный вариант такого уравнения имеет вид
<хау[л] + а іу[п + 1] + а ?у[п + 2] + ... + а*у[л + Л] =
= Ро*[/»] + Рі*[л + 1] + Р гАп + 2] + ... + р„рс[п + т),
где а„ ру — заданные константы и к > т. В этом случае уравнение называют линейным разностным А>го порядка с постоянными параметрами. Поиск решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
j[0]=>'o,
У[Ц=УЪ
............., (П1.16)
У[к- Ц=Ук-Ъ
называют по аналогии с дифференциальными уравнениями задачей Коши. Хотя эта задача легко решается в «числе», используют различные аналитические подходы с целью получения решения в аналитической форме. Среди таких подходов широкое распространение получил операционный. Его сущность подобна основанному на преобразовании Лапласа варианту, но отражает особенности (в частности, недифференцируемость) решетчатых функций.
Определение П1.4. Решетчатую функцию у[п\ со свойствами:
1)Я«] = 0, п < 0,
2) у[п] Ф 0 при всех или некоторых п > 0,
3) ЗМ, с > 0 такие, что [у[я]| < Месп
называют оригиналом.
Определение П1.5. Функция y(z) комплексного аргумента z называется изображением, или ^-преобразованием оригинала у[п\, если
?(z) = Z{y[n)}=i y[n]z~n. (ПІ.17)
/7=0
Утверждение ПІ.2. Еслиу[л] — оригинал, то ряд в (П 1.17) сходится, причем абсолютно, при всех z, для которых |г| > еЛ, где Со определено аналогичным утверждению П1.1 образом.
222
Изображение y(z) отождествляется с суммой ряда (П1.17). Существует обратная операция, позволяющая установить оригинал по изображению и называемая обратным ^-преобразованием:
y[n] = Z-x{y(z)) = ^jmzn~ldz, п> О, (П1.18)
2яу q
где G — любой несамопересекающийся контур, содержащий внутри себя окружность радиуса ес°. Интеграл (П1.18) может быть вычислен в соответствии с теоремой о вычетах. Как и для непрерывных функций, построены обширные таблицы соответствия решетчатых оригиналов и их изображений.
Опуская достаточно несложные доказательства, приведем наиболее характерные свойства ^-преобразования.
1. Z СіУі [и]| = I с, Z {у j [и]}, c,=const.
2. Z{y[n + k]} = zkyU)~ 2 zk~'y[i\.
i=0
3. Z{y[n - к}} = z~ky(z), к>0-
4. Z{bky{n]) = (z-l)ky(z)~Zki\z-1)*-I~VAV>'[0].
v=0
5. z|zW=-^y(z).
[/=0 J z l
6. Z~X{yi(z)h(z)}= 1 У\\і]Уі[п-і]= І У\[п-\]У2\І],
1=0 /=0
гдеуі[я] и y2[n\ — оригиналы, соответствующие изображениям yAz) и y2(z).
7. tfO] = lim y(z).
Z—> 00
8. lim y[n] = lim(z - 1)Л г).
П—»°o ^—>1
Рассмотрим теперь существо операционного метода решения задачи (П1.15), (П1.16). Логическая направленность метода пол-
223
ностью соответствует предыдущему изложению, относящемуся к дифференциальным уравнениям.
Вооружившись свойствами 1 и 2 ^-преобразования и начальными условиями (П1.16), подвергаем обе части уравнения (П1.15) z-преобразованию. Обозначим = Z{y[n]}, x(z) — Z{x[n]}и сгруппируем вместе слагаемые, содержащие y(z), x(z) и одинаковые начальные условия, обусловленные ограничением (П1.16) и процессом х[«]. В результате получим подобное (П1.10) алгебраическое уравнение с единственной неизвестной функцией y(z):
Смысл обозначений в (П 1.19) таков:
Ak(z) = ccq + сцг + ajz* + ... + а^,
Bm(z) = Ро + Ріг + Ргг2 + ... РтЛ
Ф/(г) = + ... + щ+iz, і = 0, 1,..., к- 2;
Ф*_і(г) = a kz,
V/z) = Р+ Рт_і*и,-1-і + ... + р1+/г,у = 0, 1,..., т-2;
= р mz.
Подвергнув изображение (П1.19) обратному z-преобразованию, получим решение исходной задачи (П1.15), (П1.16). Выражение (П1.19) значительно упрощается, если, подобно предыдущему, снять ограничения (П 1.16) на начальные условия и считать их естественным проявлением влияния функции х[п]. Это приводит к взаимной компенсации определяемых начальными условиями слагаемых и в результате оказывается
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100