Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 67

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 .. 73 >> Следующая

Приведем без доказательств, не вызывающих больших затруднений, основные свойства преобразования Лапласа, используя при этом обозначение y(s) = L{y(t)}.
1. Теорема линейности
Y(t) = L '{J(j)} = — J
- у'оо+Ц
1 у°°+ц
(П1.3)
где j - мнимая единица (/2 = — 1) и интегрирование проводится в
/=і
к
2. Теорема подобия
3. Теорема смещения
L{eaty(t)}= y(s — a), a = const.
4. Теория запаздывания оригинала
L{y(t -т)} = е STy(s).
216
5. Теорема о дифференцировании изображения
л=1,2> з>""
6. Теорема о дифференцировании оригинала
L{y«\t)) = s*№ - /-‘яо+) - /“У U(0+) -
-/-V2)(0+)-...-j№-1)(0+),
где к = 1, 2, 3, — оригинал и У'^(0+) - /-я правая'произ-
водная оригинала в точке t = 0.
7. Теорема об интегрировании оригинала
jXOd/U-Kj).
о J s
8. Теорема об интегрировании изображения
= /?(•*)<&.
9. Теорема об изображении периодической функции: если y(t)=y(t+ 7), то
Я-s) =---Ц7 I y(t)e~s‘dt.
1-е-1* О
10. Теорема о свертке
L~X{y\ (s)y2 (*)} = І Уі (х)у2 (і ~ T)dT = J Уі (t - x)y2(x)dx, (П1.6)
где у\((), y2(t) — оригиналы, соответствующие изображениям ?2^)-
11. Теорема о начальном значении оригинала
lim y(t) = lim sy(s).
/-»0, />0 5—
217
12. Теорема о предельном значении оригинала
lim y(t)= lim sy(s). (ПІ.7)
/—>ею S—>0
Bm(s)
13. Формула Хевисайда: если У\8) ~ д ^sy где Bm(s) и A„(s) —
многочлены по степеням s соответственно т-го и п-го порядков, причем п > т, то при простых корнях s,-, / = 1, 2, ..., п, уравнения An(s) = 0 справедливо
/=і A\st)
Существуют обобщения этой формулы на случай кратных корней того же уравнения Л(5) = 0.
Рассмотрим существо операционного метода в связи с решением следующей задачи Коши. Пусть задано линейное дифференциальное уравнение с постоянными параметрами
aJn\t) + ап_Уп~1)(0 + ... + ааКО =
(111.0)
= + pm_,x(m-,)(0 + ... + рох(0, П>т,
где а/5 Ру - известные постоянные параметры, x(t) — заданная
функция-оригинал. Требуется найти решение уравнения (П1.8), удовлетворяющее начальным условиям
У(,)(0+) =Уоь J = 0, 1,..., п- (П1.9)
Для решения задачи обе части уравнения (П1.8) подвергнем преобразованию Лапласа. Воспользовавшись теоремами линейности и дифференцирования оригинала и сгруппировав слагаемые, содержащие y(s) — L{y(t)}, x(s) = L{x(t)} и одни и те же начальные условия, получим
/7-1 m-І ,
A„(s)y(s)- Il(pi(s)y0l =Bm(s)x(s)- I V*(5)* (0+), (ПІ.10) /=0 к=0
где использованы обозначения:
4,00 = ow* + + ... + ao,
Bm(s) = p*/1 + Pw-i/1-1 + ... + Po,
218
<p/(j) = <v” 1 ' + а„_]і" 2 ' + ...+ a1+/, / = 0, 1,n - 2; (p„_i(s) = a„,
= P»/1 1 * + Pm-i^ 2 k + - + Pl+b
& 0, 1,m 2, v|fOT_j(5) Pm.
Полученное в результате преобразования выражение (П1.10) является линейным алгебраическим уравнением, содержащим единственную неизвестную функцию y(s), которая легко находится из этого уравнения:
Функция (П1.11) является изображением искомого решения задачи (П1.8), (П1.9). Для поиска оригинала следует осуществить переход из пространства изображений в пространство оригиналов:
что во многих случаях делается на основании формулы Хевисайда (П1.7) или путем разложения изображения (П1.11) на простейшие слагаемые с последующим установлением оригиналов этих слагаемых. В этом и заключается суть операционного метода интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными параметрами.
Соотношение (П 1.11) существенно упрощается, если на начальные условия ./''(0+) никаких ограничений типа (П1.9) не наложено. В этом случае начальные условия порождены непосредственно функцией x(t), а это приводит к тому, что второе слагаемое в (П1.11) обращается в нуль, и, как следствие, оказывается, что
связывающий изображения y(s) и x(s), принято называть передаточной функцией динамической системы, описываемой диффе-
л-1 т-1 /1Л
I Ф/Мно» - X (°+)
/=0___________________к=0
(П1.11)
An(s)
y(t) = L~l{y(s)),
(ПІ.12)
Bm(s)
Комплексный коэффициент пропорциональности W(j) = ——
A„(s)
219
ренциальным уравнением (П1.8). Очевидно, передаточная функция сама является изображением решения уравнения (П1.8), но при такой функции x(t), изображение которой x(s) = 1. Такой функцией является дельта-функция Дирака 8(г), обладающая свойствами:
5(0 = Г’' = ° J 8(t)dt = 1, Ve>0, J 8(t)z(t)dt = z(0).
[0, t Ф u, _E _E
В силу последнего равенства принимается
?{8(0} = 7s(')e-*'df = l.
о
Заметим, что иногда значение этого интеграла считают равным -і . Решение уравнения (П1.8) при x(t) = 8(() называют весовой функцией, или импульсной характеристикой динамической системы. Обозначим ее символом оо(/), т.е. со(/) = L~x{W(s)). Тогда оригинал изображения (П1.12) можно найти на основании теоремы о свертке
t t y(t) = І со(т)х(/ - x)dx = Jo)(/- x)x(x)di. (П1.13)
о о
Каждое из интегральных выражений в этом соотношении называют оператором свертки. Оператор свертки, таким образом, позволяет при отсутствии ограничений на начальные условия найти решение уравнения (П1.8) при произвольной функции x(t), если известно решение при x{t) — 5(/), представленное функцией со(/).
Аналогичная методология решения распространяется на линейные разностные уравнения. Изложению соответствующего подхода, как и ранее, предпошлем ряд начальных определений.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100