Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 65

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 73 >> Следующая

Обратимся к соотношениям (4.49), (4.50). Неизвестными параметрами этой модели, что следует из (4.48), являются первый столбец матрицы А, вектор В, первый элемент вектора С, дисперсия ар2. Введем для них обозначения:
«и
.а1к_
Так как эти параметры являются стационарными и во времени не меняются, условно их можно задать как решения простейших разностных уравнений:
Zu„ = Zi „_b Z2 n = Z2>„_i, Z3,„ = Z3 (4.61)
Введем в рассмотрение блочные векторы и матрицу соответственно:
, Z2=i?, Z3 =
с\
о„
209
Zx
Zi
їг
z
<eR
ik+2
В
°2Л+2
z2
eR
3k+2
A =
Ek ®kxk O/fcx 2 °A:xA:
®kxk Ek °*x2 ®kxk
®2xfc ®2xA: El ®2 xk
Pkxk ^ kxk ®kx2 A(Z\)
. R(3k+2)(3k+2)
где 0,xy — нулевая матрица размеростью і на j, 0, — нулевой /-вектор и подчеркнута зависимость матрицы А от вектора Z{. Воспользовавшись этими обозначениями, уравнения (4.50), (4.61) можно представить в виде одного (3к + 2)-мерного уравнения Zn = = /+ В'(Z2^„-i)xn_l или же
Zn = Ф(^;_,) + B\z'n_x)xn_b Ф(2*„_,) = A\Zh n^)Z\^. (4.62)
Вектор Z*„ назовем расширенным стохастическим вектором состояния. Особенность описывающего его динамику разностного уравнения (4.62) проявляется в том, что это уравнение, в отличие от (4.50), является нелинейным.
Далее введем в рассмотрение (ЗА: + 2)-мерную вектор-строку &5\ у которой на 5-й позиции находится единица, а остальные элементы равны нулям. Тогда слагаемое CTZ„ из (4.49) с использованием новых обозначений можно записать как (^2k+l'>Z*C^2k+^Z*n. Второе слагаемое р„ из этого же выражения, имеющее неизвестную дисперсию ор2, следующим образом выражается через стандартную гауссовскую величину р„: рп = G^+2)Z„V„. Само уравнение (4.49) в новых обозначениях приобретает вид
у„ = h(/n) + &2k+2)z'nPl
(4.63)
где нелинейная функция A(Z*) = (j-2k+x^Z*n(jP'lc+3'>Z*n. Таким образом, и модель наблюдений (4.49) при неизвестных параметрах оказывается нелинейно зависящей от расширенного вектора состояния Zn. Последующую задачу можем сформулировать так.
210
Временной ряд представлен уровнями, математически выражаемыми через ненаблюдаемый расширенный вектор состояния Zn в соответствии с (4.63). Сам вектор состояния формируется из порождающего белого шума, как это предусмотрено разностным уравнением (4.62). Случайные составляющие хп и р„ в обоих уравнениях являются независимыми гауссовскими белыми шумами с единичными дисперсиями. Задача, как и в предыдущем разделе, заключается в поиске оценки Z„ вектора состояния Z*n по вектору наблюдений у\ и в последующем использовании этой оценки в целях прогнозирования. Отличие этой задачи от предыдущей проявляется прежде всего в нелинейной структуре моделей (4.62), (4.63). Иным будет и результат решения задачи: в этом случае наряду с оцениванием вектора состояния Zn проводится оценивание и неизвестных параметров модели (4.49), (4.х)), включая дисперсии случайных составляющих. Платой за перспективу совместной параметрической идентификации и, как говорят, фильтрации оказывается размерность задачи.
Решение сформулированной задачи, как и выше, ищем в соответствии с критерием максимума апостериорной плотности вероятностей, аналогичным (4.51). Однако нелинейный характер модели существенно усложняет как сам процесс поиска точного решения, так и соответствующий алгоритм. Поэтому удобнее прибегать к помощи различных процедур линеаризации нелинейностей для получения более простых алгоритмов, подобных их линейному аналогу. Если, вооружившись идеей линеаризации, пройти путь, подобный приведшему к алгоритму (4.57)—(4.60), получим систему рекуррентных соотношений для совместной параметрической идентификации модели и фильтрации вектора состояния. В систематизированном виде эти уравнения таковы:
алгоритм фильтрации
Zn — Z пп—j + Кп(уп h(Z пп_\У)', (4.64)
алгоритм одношагового прогнозирования
Z п,п—і &(Z,і—і); (4.65)
211
априорная ковариационная матрица ошибок
Rn,n-\ = -^r«KZ* )*„_! -^Фт (Z*) + В' (Z* )B*T(Z*) dZ dZ
при Z* = Z*_j; апостериорная ковариационная матрица ошибок
(4.66)
К ~ ^п,п-\ ^п,п-1
ъг
-h(Z )
ъг
:h(Z )
хп,п-1
az
7*(Z )
+G<2k+2)R„<n-l(G(2k+2bTY1-^h(Z')R„yf,-l при Z*=Z;„'_,;
' 3Z
(4.67)
коэффициент усиления
*„-*„< -^r*(z V(c№-J,^i(c®f»)Tr1
(4.68)
при Z* = Z^„_i.
Входящие в выражения (4.66)-(4.68) производные могут быть конкретизированы. Так как в данном случае
0(Z*) = /(Z0Z= [Z,T Z2T Z3T ZTAT(Zi)]T, то в блочных обозначениях
dZ
-0(Z ) =
Ек @кхк °кх 2 @кхк
°кхк Ек °кх 2 °кхк
°2хк °2 хк Е2 °2хк
*1 Ек °кх(к+2) Zl Ек-\
. jj(3A:+2)x(3*+2)) (4.69)
где через Zi обозначен первый компонент вектора Z, s = [1 1 ... l]TeR*, ?^\Є Rkx(k~l'> и представляет собой единичную (Л - 1)-матрицу Ек_х, окаймленную снизу нулевой строкой. Аналогичным образом несложно установить
-^MzV^tf2*+1>zV2*+3)z* = tf2k+l)(&2k+Vz') + ъг ъг
^ = [02*т *V3 о .V! ОдЛ r3*+2,
(4.70)
212
где Zi — і-й компонент вектора Z*. Таким образом, в данной задаче матрица (4.69) и вектор-строка (4.70) существенно разрежены, что, несмотря на возросшую размерность задачи, способствует упрощению программной реализации алгоритма (4.64)—(4.68). Организация вычислений в соответствии с этим алгоритмом осуществляется так же, как и в случае (4.57)—(4.60). Отличие проявляется лишь в том, что вычислению оценки Z„ предшествует вычисление прогноза Zn>n-1 по правилу (4.65).
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100