Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 64

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 73 >> Следующая

J = (Zn — Znn_j) Rn,n-i№п — Zn>n-\) + Op (y„ -C Zn) —»min. (4.53)
Запишем необходимое условие минимума:
V/- 1Rn n_\(Zn Zn n_j) + 2ap C(y„ — С Zn) — 0^,
где 0* — нулевой &-вектор. Решение этого уравнения и будет представлять собой оценку Z„. Таким образом,
Zn = (R~]n_{ + ар~2ССт )“1(Лй,1л-1 2п,п-1 + ар~2СУп)- (4.54)
Воспользовавшись леммой об обращении матрицы, представим
(R^!n-1 + Ор~2ССт)~1 = (4 55)
— Rn,п—і— Rn,п— \С(С Rn< п-\С+ Ор ) С Rn,n—\>
а на основе (4.50) запишем
Zn,n-\ = M{Zn іуі"-1} = M{AZn_i + Вхп^ГХ) =
= AM{Zn_l\yln-'}=AZ„_ j,
откуда следует важное соотношение
Zn,n-i = A Zn_\. (4.56)
Выражения (4.55), (4.56) позволяют следующим образом отредактировать формулу (4.54):
205
Zn (Rn, /1-І Rny n-\C(P Rn, n-Gp ) С R/t, n-l)(R /і, n-1^ Zfi-1
+ o~2Cyn) = A Z„_i + J?„, n-i°p~2Cy„ - Rn, „-iC(CX Л_,С +
+ Op ) С Rn^ n—l(R n, n— 1^ ^/i— 1 Gp Cyn) ~
= AZn^ + л_іС(Стігл, „_іС + op2r\CTRn9 „_іС + аД /„ -
— ^/і, /і-і^Х^ ^/і, /1-1^“^^) С Rny лі—1(^ п, /i-i^Z/i-і Op CV/i) =
— A Zn_і + л_іС(С І?Л) л_іС + Ор ) (Ор (С Rn п-\С + Ор )уп —
— С Rn n-.\(R n n-.\AZn_\ + Op Cyn)).
Обозначив
кп = Д„, л-іС(Ст Rn, „^C + a/)-1, (4.57)
из последнего выражения получим
Zn = AZn_x + Кп(уп-СтAZn_{)9 #1-1,2,Ж (4.58)
Выражение (4.58) позволяет последовательно вычислять оценки Z\, Zj, Z3,..., причем каждая последующая оценка выражается через предыдущую и очередное наблюдение, т.е. алгоритм носит рекуррентный характер. Это выражение часто называют уравнением фильтрации.
Для завершения алгоритма необходимы дополнительные соотношения, определяющие матрицу Rn<n-\ в выражении (4.57). Займемся их поиском.
Обратимся к выражению (4.52) и рассмотрим его правую часть, т.е. функцию co(Z„lyi”_1)co(y„|Z„)/coO„lyi"~ ). Дополнительно к уже найденным определим условную плотность to(y„li’i'<’’1). При линейной гауссовской модели (4.49), (4.50) эта плотность также является гауссовской и определяется двумя параметрами — условными математическим ожиданием и дисперсией. Найдем их:
м{уп\уГ1} = M{cTzn+pn\yr1} = Crzn>n_i; м{(у„-ст г„'„_о2\уГ1} = M{(cT(z„-zn>„_i) +Jp„)V1} =
— С Rn> „_]С + Ор
и, таким образом, Сй(у„[уій_1) = N(Cr Zn>n_\, CTRn „_іС + ар2). Теперь, используя определение гауссовской плотности, построим
206
функцию p(Z„), являющуюся показателем экспоненты в выражении G)(Z„|yi"~ )co(>'jZ„)/co(>'„lyi/,_I):
P(Zn) = ~ ~2 ~~Zn,n—\) В л> „_,(Z„ —Zn n_i) —
-1 °-207, - CTZ„)2 + і (СЧ, -іС + Ор)~Х(уп - СТ Z„,«-1)2-
Разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки Z„. Так как функция квадратичная, разложение будет содержать лишь три слагаемых:
^ 2 ^ p(Z„) = p(Z„) + ^^(Z„ -Z„)+±(Z„-Z„)T^f^(Z„-Z„). °zn 2 dz„
В силу оптимальности оценки Z„ выполняется условие
dp(Z„) уак как в (4.52) (o(Z„[yj”) = N(Z„, R„), то показатель
dZ„
экспоненты плотности (o(Z„\yin) при Z„ = Z„ обращается в нуль. Но тогда и функция p(Z„) в этой точке обращается в нуль, т.е. p(Z„) = 0, и, следовательно,
2 ^
p(Zn) = j(Z„-Z„)T^^(Zn-Zn).
2 3Z„2
Показатель экспоненты функции co(Z„[yi") = N(Zn, Rn) равняется — j (Zn - Z„)TR„~l(Z„ - Z„), и так как должно выполняться равенство (4.52), он должен равняться функции p(Z„). Но это равенство достигается, если —^^n^ = (-R^1), что после дифферен-
3Z2
цирования приводит к соотношению R^1 = R^]n-\ + <Зр2ССт. Обращая обе части этого равенства и применяя к правой части лемму об обращении матрицы (4.55), с учетом (4.57) получаем
Rn = (-Е-КпСт )Rnn_i.
(4.59)
207
Теперь установим связь между матрицами Rn „_і и Rn-\- Для этого рассмотрим последовательность равенств
Rn, п-1 = M{(zn-zn<n_x)(zn V1} =
= M{[A(Z„_X-zn_ і) + Bxn_xmzn_x-Zn_x) + Вхп^]г\уГ1} =
= ARn_xAT+a2BBT,
из которых следует
= ARn^AT + ax2BBT. (4.60)
Совокупность соотношений (4.57) — (4.60) образует рекуррентный калмановский алгоритм оценивания стохастического вектора состояния. Вычисления по этому алгоритму организуются следующим образом.
1. В соответствии с априорной информацией Zq ~ Щт^, Kz0) принимаются начальные условия для алгоритма Zq = т$, Rq = = KZо.
2. Пусть п = 1.
2.1. В соответствии с (4.60) вычисляется матрица Rx о-
2.2. На основе (4.57) находится вектор К\.
2.3. Используя (4.58), находят оценку Zx вектора Zx, соответствующую наблюдению ух.
2.4. Из выраженйя (4.59) находится матрица R\.
3. Пусть п = 2.
3.1. На основе (4.60) вычисляется матрица
3.2. В соответствии с (4.57) вычисляется вектор К^.
3.3. Из (4.58) находят оценку Z2, соответствующую наблюдениям ух,у2;
3.4. Вычисляют матрицу і?2, используя (4.59).
Последующие расчеты проводятся аналогичным образом при
п = 3, 4,..., ^ результатом чего будет оценка^. Прогнозированное значение Кот = CTZm ряда обосновывается результатом (4.56) и принимает вид Ym = CTAm~NZN. Апостериорная ковариационная матрица і?дг определяет точность оценивания вектора состояния Z/у, соответствующая величина CTAm~N — Rx(/P‘~n)rC характеризует точность прогнозирования.
208
4.13. Нелинейная параметрическая идентификация модели стохастического временного ряда
При построении калмановского алгоритма прогнозирования предполагалось, что параметры А, В, С модели (4.49), (4.50) и входящих в нее белых шумов известны. Однако одна из особенностей эконометрических задач проявляется в том, что это предположение оказывается излишне оптимистическим, и параметры, прежде чем решать задачу прогнозирования, еще следует определить. Источником соответствующей информации при этом является сам временной ряд уи у2, Ум- Ранее уже отмечалось, что для традиционных моделей ряда вида AR, МА, ARMA разработаны алгоритмы оценивания их параметров, широко представленные в литературе. Поэтому, воспользовавшись этими методами, можно идентифицировать неизвестные параметры, а затем построить модель ряда в терминах стохастического вектора состояния, но уже с известными параметрами, и решить задачу прогнозирования калмановскими средствами. Покажем, что калманов-ская идеология позволяет избежать этой двухэтапной процедуры и совместить в рамках общего алгоритма решение задач идентификации и прогнозирования.
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100