Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 63

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 73 >> Следующая

4.12. Рекуррентный алгоритм прогнозирования стохастических временных рядов (калмановский фильтр)
Уточним постановку задачи. Будем полагать, что наблюдается временной ряд у\, У2, ..., Уы- Элементы (уровни) этого ряда представляют собой аддитивную смесь полезной составляющей ряда и сопутствующих любому эксперименту измерительных ошибок (шумов, возмущений). Полезная составляющая ряда линейным образом выражается через ненаблюдаемый стохастический вектор состояния. Математическая модель ряда, таким образом, имеет подобный (4.46), (4.47) вид:
202
у„ = CTZ„ + p„, n=l,2,..., N,
(4.49)
Z„ AZn—\ + Bx,^. (4.50)
Здесь обозначены: p„ ~ N(Q, ap2) — экспериментальные ошибки типа гауссовского белого шума; х„ ~ N(0, сх2) — порождащий белый шум, причем M{pfXj) = 0 при V/, у; Zq ~ N(mzо, Кго) — определенное в вероятностном смысле начальное состояние, не зависящее отдсо; параметры модели С, А, В предполагаются известными. Отличие модели (4.49), (4.50) от ее прототипа (4.46), (4.47) проявляется в том, что в (4.49) включены экспериментальные шумы, но отсутствует слагаемое Ьхп, фигурирующее в (4.46). Формально это означает, что в уравнении (4.32) т < к и = 0, что характерно для многих приложений. В последующем мы это ограничение снимем. Обозначим у„* = CrZ„. Решаемая далее задача заключается в следующем: располагая наблюдениями в объеме
(4.49), требуется найти наилучшую в некотором смысле оценку ут* величины ущ , где т> N. Эта оценка ищется в виде Ym* = CTZm, те Zm — прогнозированное значение стохастического вектора состояния. В свою очередь, как будет показано, Zm — Am~NZдг, где Z#
— оценка вектора состояния Zyy, найденная по наблюдениям ух, У2і —»Уы- Таким образом, задача прогнозирования сводится к поиску наилучшей в определенном смысле оценки Zff вектора Z#.
Обозначим символом у" вектор наблюдений с компонентами Ух, У2> Уп> т-е- У\п = \У\У2 — Уп^, и по этим наблюдениям найдем оценку Z„ (уі") вектора Z„ как функцию наблюдений у\п, максимизирующую апостериорную плотность вероятностей co(Z„|yi") этого вектора. Таким образом, в качестве наилучшей принимается оценка
Zn = arg шах сo(Zn |jf). (4.51)
ZneRk
Напомним, при рассмотрении байесовского метода оценивания параметров регрессионной модели было показано, что для линейной гауссовской модели наблюдений и квадратичной функции стоимости байесовские оценки совпадают с оценками по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей. Это справедливо и в данном случае. Поэтому задача (4.51) эквивалентна условию
203
M{||Z„-Zj2|jf}->min,
Zn
т.е. решение задачи (4.51) обеспечивает наилучшее приближение оценки Z„ к оцениваемому вектору Z„, но аналитически оперировать с (4.51) удобнее.
Для решения задачи (4.51) прежде всего установим структуру апостериорной плотности. Так как модель (4.49), (4.50) является линейной и гауссовской, то и условная плотность co(Z„[yi") будет также гауссовской. Как известно, условная гауссовская плотность определяется двумя параметрами: условным математическим ожиданием M{Z,)y\n} и условной ковариационной матрицей M{Z„° (Z„° )т|>»і"}, где, как и ранее, ° — символ центрирования. Но математическое ожидание гауссовской величины соответствует максимуму ее плотности вероятностей, в силу чего A/{Z„[}>|"} = Z„. Дополнительно обозначим M{Z„°(Zn°)T\yin} — M{(Zn — Z„)(Z„ —
— Z„)T[y]"} = Rn. Эту матрицу, характеризующую точность оценивания вектора Zn по данным у\, принято обычно называть апостериорной ковариационной матрицей. Таким образом, co(Z„|yi") = = N(Zn, Rn).
Аналогичным образом и по тем же причинам выразим co(Z„[yl”“‘) = MZ„,„_j, Rnn-\),Lrae Zn n_x = M{Z>,"-1}, Rn = M{(Zn -Z„)„_1)(Z„ -Zn n_\) [у," }. Матрицу R„ n_{ принято называть априорной ковариационной матрицей. Вектор Z„ является оценкой вектора состояния Z„, найденной по наблюдениям у\п~х = = ІУі Уг ••• Л-.Г, что принципиально отличает его от оценки Z„ того же вектора, но найденной по наблюдениям.^". По существу, величина Zn n_ і является прогнозированным значением вектора Zn_\ на один шаг вперед, найденным по наблюдениям У\,У2,
Уп— 1-
Установим СВЯЗЬ между условными ПЛОТНОСТЯМИ CD(Z„[}>j") и (0(Z>,"-1). Для этого предположим, что найдена условная плотность co(Z„_i|j’i"-1), и рассмотрим ряд соотношений, основанных на общих свойствах плотностей вероятностей:
0>(Z„, Уп\УіП~1) = СО^ІУ!0-1) C0(jn|Z„, у"-1) = toCVnlVl”-1) (0(Z„ly1").
Из этого равенства следует интересующее нас соотношение сoiZM") = cMZnb"-1) (О(уп\гп,уГХ) = cMZ„W~l) «ХиЮ, (4.52)
204
где сп = 1/ю(у„[у1,,_1) и учтено, что при фиксированном векторе Z„ величина уп не зависит от предшествующих наблюдений в силу чего a>(y„\Z„tyin~l) = co(y„|Z„). Входящая в выражение (4.52) условная плотность (o(yn\Zn) находится из (4.49): (o(y„jZ„) = = N(CTZ„, Ор2). Так как с„ не зависит от Z„, а обе плотности oo(Z„[yi ) и co(y„|Z„) из (4.52) являются гауссовскими, то общий показатель экспоненты произведения co(Z„[y1"“l) х со(y„\Z„) имеет
вид: - ^(Zn-Zntn_x)TRn>n_x~\Zn-Znrn__x)- іap~2{yH_CTZ„)2. Но
тогда задача (4.51) в силу (4.52) эквивалентна задаче
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100