Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 62

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 73 >> Следующая

^2, п ~ Zl,n+1 ак—\Уп Ьк—іХпг Z3, n = Z2,n+\ + <*к-2Уп - Ьк-гХ„,
Zk, n - Zk-i,n+i + a\yn - b\xn, Zk,n+\ + a0yn-b()xn = 0.
Из первого уравнения выразим
1 bk
Уп=—їі,и+-Г*« (4-44)
ак ак
и, подставив это значение в оставшиеся уравнения, найдем:
198
ак-1
«іл+l =—"—*1,л +^2,и + ак
ак-2
^2,я+1=-—-Чя+г3,я + ’ ’
°fc-3
^3,л+1 — ~ г))Л + ^4 я + Ок
ак-А ак
'к ,l + bk-1
л»
ак-2Ьк
ак
ак-ЪЬк
Ок
+ bi
к-2
+ Ь,
}к-3
/7,
ҐІ,
(4.45)
а\
??-1,л+1 ~ ^1,и +Zk,n +
ак
аФк
+ Ь\
п,
_ а0 Zksi+l ~ ~~zl,л + а\
а0 h Ок
+ Ьп
В результате проведенной операции единственное разностное уравнение (4.32) к-го порядка заменяется системой из к разностных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно новых переменных в момент ti + 1. Решение исходного уравнения (4.32) выражается через решение системы (4.45) в соответствии с (4.44).
Уравнения (4.44), (4.45) удобно переписать в матрично-векторной форме:
~ (4.46)
(4.47)
Уп С Zn Ьхп, •2/1+1 AZn + Вхп
где использованы естественным образом следующие из представлений (4.44), (4.45) обозначения:
b~— Z -
о — , —
ак
Z\,n
%2,п
zk—\,n
%к,п
А =
ак-1 ак 1 0 0 . .. 0
ак-2 Ок 0 1 0 . .. 0
ак-3 ак 0 0 1 . .. 0
_fL <*к 0 0 0 .. .. 1
а0 ак 0 0 0 .. .. 0
(4.48)
199
akbk-\ ~ак-Фк ' 1 '
akh-2 ~ак-2^к ак
акЬк-Ъ ~ак-Фк , с= 0
0
акЪ! -ахЪк
1 О і ? 1 0
Вектор Zn, определяемый стохастическим матричным уравнением (4.47), по сложившейся традиции назовем стохастическим вектором состояния. Этот вектор путем линейного преобразования (4.46) формирует решение уп уравнения (4.32). Как из уравнения (4.32) в качестве частных случаев были получены модели AR, МА, ARMA, ARIMA, так и из системы (4.46), (4.47) путем введения соответствующих ограничений на параметры характеристик
(4.48) можно сформировать те же модели, но в терминах вектора состояния.
Положив в (4.48) к= р, Ь$ = Ь\ = ... = Ьр„\ — 0, ЬрФ 0, т.е. ВТ = = —Ь[ар_і ар_2 ... «о], и сохранив А, С в виде (4.48), получим авторегрессионную модель AR(p). Покажем это для случая р = 2, воспользовавшись чисто формальной процедурой. Обозначим:
а\ ао
с\=----, с 2=-----, так что
а2 а2
А = "q і' , В = Ь2 С1 , с=— V
с2 0 .с2_ а2 0_
и, воспользовавшись оператором сдвига, запишем (qE2—A)Zn = = Вхп или же Zn = (qE2~A)~lBxn, где Е2 — единичная матрица размерности два. Тогда уп = Ст(с,Е2 — А) х„ + Ьхп. Осуществив формальные операции, получим
.. *2(С|С + С2) . .
У" ~ /1-2 г Хп+Ьхп-
ог(С -с&-с2)
Умножим обе части этого выражения на с2 — CjC — с2 и учтем смысл оператора д. В результате находим уп+2 — с\уп+\ — с^Уп = = bc\xn+] + Ьс2х„ + Ьхп+2 — Ьс\хп+\ — Ьс2хп, что после замены п + 2 на п приводит к окончательному результату (4.40):
200
Уп = СіУ„-1 + с2Уп-2 + bxn.
Если в выражениях (4.48) положить к = q, ац = а\ =... = aq_\ = О,
т.е.
'о 1 0 ., .. о' 1 7 V
0 0 1 .. .. 0 bq-2 1 0
, В= , с=— 0
0 0 0 .. ,. 1 h aq
0 0 0 .. • °_ .*0 . 0
ТО получим модель скользящего среднего МА(<7), в чем можно убедиться подобным предыдущему образом.
Положив в соотношениях (4.48) к=р,Ь$ = Ь\ = ... = bp_q_\ = О, bp_q Ф 0, bp_q+\ Ф О, ..., Ър Ф 0, получим модель авторегрессии — скользящего среднего ARMA(p, q). Наконец, если представить A(z) = A\(z)(z — \)d, выразить коэффициенты многочлена A(z) через коэффициенты многочлена A\(z) и построить соответствующую матрицу Л, получим матрично-векторную модель ARIMA(p, q). Таким образом, уравнения (4.46), (4.47) при надлежащем определении структурных параметров (4.48) можно рассматривать как обобщенную матрично-векторную стохастическую модель временного ряда, отражающую современные тенденции описания случайных последовательностей.
Модель (4.46), (4.47) является достаточно гибкой в том смысле, что легко адаптируется к рядам, содержащим не только стохастические составляющие, но и детерминированные. Так, если наблюдения (4.46) дополнительно содержат гармоническую составляющую f„ = wsin(wvj) с неизвестной амплитудой и и известной частотой >v, имитирующую сезонные колебания, то можно, расширив вектор состояния, свести описание ряда к той же модели (4.46), (4.47), но увеличенной размерности. С этой целью зададим амплитуду и как решение уравнения и„ = н„_|, добавив его к системе (4.45), и величину ип включим в качестве (к + 1)-го компонента в состав вектора Z„. Как следствие, это приведет к возрастанию размерностей всех матричных величин (4.48), которые окажутся равными:
201
г -| «11 1 0 0 . . 0 о'
Z\,n «21 0 1 0 . . 0 0
^2,л «31 0 0 1 . . 0 0
А = ... ... . . ... ...
%к-\,п «Л-1,1 0 0 0 . . 1 0
*к,п ак\ 0 0 0 . . 0 0
. ип . _ 0 0 0 0 . . 0 1
'ч - * " Cl
*2* 0
В = * , С = Сп = 0
°к-\ ...
Ь'к 0
0 sin(w/j)
Здесь для упрощения записей использованы более лаконичные обозначения элементов матриц А, В, С, но их смысл тот же, что и в (4.48). Аналогичным образом можно поступить и в случае совместно неизвестных и и и>, введя дополнительное уравнение для частоты wn = w„_b что еще на единицу увеличит размерность модели и сделает ее нелинейной. Воспользовавшись аналогичным подходом, можно надлежащим выбором матрицы А предусмотреть присутствие в составе ряда полиномиального тренда и иных детерминированных составляющих.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100