Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 61

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 73 >> Следующая

Прежде всего воспользуемся введенным оператором сдвига ? и дополнительно определим оператор первой разности Ду„ = = >'„+1 —уп = (С — \ )Уп- Аналогично второй разностью Д2уп назовем первую разность первых разностей Д2уп = Ду„+і _ Ауп = уп+2 —
— 2у„+і + уп = (? — 1) уп. Подобным образом можно ввести разности произвольных порядков. Функцию Yn назовем первообразной функции у,,, если выполняется условие AYn = Y„+i _ Y„-yn. Спра-
195
соответствует модели авторегрессии; Уп- ~—~у«=д ул> что
-і ”-1
ВЄДЛИВО легко проверяемое условие Уц=& Уп='?Уі- Поэтому
і=0
операцию суммирования часто интерпретируют как обратную по отношению к операции взятия разности (подобно соотношению между операциями дифференцирования и интегрирования). В алгебраизированном виде уравнение (4.32) можно записать так: Л(фп = В(с)хп, где A(q) = а0 + a{q + a2q2 + ... + а^к, B(Q = b0 + + b\C, + b2q + ... + bmqm. Пусть теперь характеристическое уравнение (4.43) имеет d равных единице корней и, следовательно, можно представить A(z) — Ai(z)(z — \)d, причем все корни многочлена (к — d)-ro порядка Л і (z) находятся внутри окружности единичного радиуса. Но этому представлению многочлена A(z) соответствует запись уравнения (4.32) в виде А і (<;)(<; — 1 )dyn — В(с)хп. Теперь чис-
В( О
то формально запишем Уп- ~~ ~Jxn и обозначим qn = В(с)хп,
Ai(Q(<~,~ 1)
что соответствует модели скользящего среднего; A\(q)vn = qn, что
1 rv„ = &~d'
(C-Dfl
соответствует оператору d-кратного суммирования. Из последнего равенства следует Дdyn = v„. Но последовательность v„ в установившемся режиме является стационарной, так как корни многочлена Лі(г) расположены внутри окружности единичного радиуса. Следовательно, и d-я разность временного ряда Yn также образует стационарный процесс. Нестационарные временные ряды, порожденные стохастическим разностным уравнением (4.32), характеристическое уравнение которого имеет d равных единице корней, а остальные корни по модулю меньше единицы, принято называть процессами авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) порядка (k, d, т) или ARIMA (к, d, т). Важная особенность модели, таким образом, проявляется в том, что она задает процесс нестационарный, но со стационарной разностью d-го порядка. Названия всех перечисленных моделей не очень благозвучны для русского восприятия и не являются безупречно содержательными, но они устоялись и подвергать их ревизии нецелесообразно.
Проведенный формальный переход от уравнения (4.32) к частным моделям AR(p) (4.40), МА(^) (4.41), ARMA (4.42), ARIMA
196
упростится, если предварительно провести следующее изменение в уравнении (4.32): обозначим п + к = і и перепишем уравнение в виде
асУі-к + а іУі-к+1 + <ЧУі-к+2 + • • • + акУі =
= b(pct_k + b{Xj_k+x + b2x^k+2 + ... + btpct-Mm, k>m
или же, в целях унификации символики обозначив / = п и положив к = т, в виде
<*кУп + ак-1 Уп-1 + ак-ИУп-г + • • • + а<)Уп-к =
Ькхп + ^к-- 1хп— 1 + Ьк—2%п—2 + ••• + Ь(рСп_к.
Тогда легко обнаруживается, что это уравнение превращается в уравнение AR(p) (4.40), если положить = а\ = ... = ак~р-\ — 0,
_ ак-1 _ ак-2 Ьо - Ь] = ... = b/с-] = 0 и обозначить с\ -—~—> с2 -—~—. •••>
ак ак
^к—Р г Ьк
с„ =-----—, Ь =—. Если в этом же уравнении принять oq = Ді =
ак ак
= ... = і = 0, Ьо = = ... = bk_q_\ = 0 и обозначить
dn =—, d\ da =-^-, то получим модель MA(^) (4.41).
ak ak ak
Наконец, при ciq = a\ = ... = ak-p-\ = 0 и b§ = b\ = ... = ^_9_i = 0 и сохранении введенных обозначений для параметров с„ dj получим модель ARMA(p, q) (4.42). Если дополнительно среди корней уравнения ак + ak_\z~X + ak^2z~2 + ... + ak_pZ~p = 0 «предусмотреть» d корней, равных 1, получим модель ARIMA(p, d, q).
При выборе модели стохастического временного ряда возникают те же проблемы, что и при построении квазидетерминиро-ванной модели: какой вид модели обоснованно предпочесть, как определить наилучший порядок модели, как по экспериментальным данным оценить параметры модели. Ответы на эти вопросы частично созвучны ранее найденным применительно к задачам регрессионного анализа и достаточно полно освещены в литературе по исследованию типовых моделей стохастических рядов (например, [2, 4]).
197
4.11. Стохастический вектор состояния. Обобщенная матрично-векторная модель временного ряда
Характерная особенность современных методов обработки случайных последовательностей проявляется в широком применении рекуррентных алгоритмов, подобных ранее рассмотренному рекуррентному методу наименьших квадратов. Поэтому попытаемся все ранее рассмотренные модели стохастических рядов, названные нами типовыми, представить в форме одной модели, соответствующей основным принципам построения рекуррентных алгоритмов обработки экспериментальных данных.
Обратимся к разностному уравнению (4.32) и перепишем его в форме
ОкУп+к ЬкХп+к &к—іУп+к—1 ~ ^к-Л-^п^к -1 •••
+ а\Уп+\ ~ Ь\ХП+Х + аау„ - Ь(рс„ = О
или же, используя оператор сдвига,
^(«кУп ~ ЬкХ„) + <?~\ак-\У„ - Ьк-\хп) + ... +
+ Ч (а\Уп ~ Ь\хп) + (аоу„ - Ь&.п) = 0.
Введем новые переменные
Zl, п ~ Я/сУп ~ b/tX/t’
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100