Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 60

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 73 >> Следующая

M{Y„Yk} = an+kD0+b2nilkil ai+J MiX^X^j}.
/=оу=о J
Так как Xt — дискретный белый шум, то А*-і_у} рав-
няется единице при n — i — k—j и нулю в остальных случаях. Поэтому при п> к имеем i = п — к + j,j = О, 1,..., к — 1 и
M{YnYk} = an+kD0 +b2an~kkjia2J =
j=О
2 2
_п+к Ь , _п-к/Лк їх Ь _2 „п-к
= -а —-----------+ о (о -1)—----= ст а .
а -1 а -I
Аналогичным образом при к > п выразим j — к — и + /, / = О,
1,..., п— 1 и
M{Y„Yk} = a”+kD0+b2ak-nnj!a2i =
»=0
2 2
= -ая+* + ак-\а2п -1)-?— = ст 2а*-".
a -I а —I
Последние два соотношения в совместной записи приобретают вид:
М{ Yn Yk} = КАп - к] = о2а^ = ст2е_а|"Л
192
т.е. ковариационная функция последовательности Yh і = О, 1, ..., построенной с помощью формирующего фильтра, определяется только расстоянием между сечениями, и сама последовательность действительно при всех і является стационарной с заданной ковариационной функцией.
4.10. Типовые модели стохастических временных рядов эконометрики
Традиционно в эконометрических приложениях используют определенный класс моделей стохастических временных рядов, получивших широкое распространение в практике обработки временных рядов и включенных во многие пакеты прикладных программ. Все эти модели можно рассматривать как частные случаи линейного разностного уравнения (4.32) при определенном выборе параметров и порождающем дискретном белом шуме Хп, п = 0, 1, ..., т.е. как своеобразные формирующие фильтры. Для удобства запишем еще раз это уравнение:
«оУп + а\Уп+\ + ауп+2 + ... + акУп+к =
(4.39)
= Ь(рс„ + Ьххп+\ + Ь2хп+2 + ... + ЬмХп+н,, к>т.
Конкретизацию этого уравнения удобно осуществить, перейдя к операторному представлению уравнения. Для этого введем в рассмотрение оператор сдвига q, такой, что суп = jvm, q2yn = уп+2 и т.д. Тогда уравнение (4.39) примет вид («о + а\Ч + а2ъ + ••• + о^)уп -= (Ьо + Ь\(.; + Ь2<^ + ••• + bmqm)xп или же
_ в(0 _ bp +^iC + ^2C2 +- + bmt,m
" А(0 П a0+a1; + a2C2+... + afc^
что и будет операторной формой записи разностного уравнения. Положим bo = b\ = ... = Ьр_х = Ьр+2 = ... = ьт = 0, ар+х = ар+2 = ... = 0
иобозначим с, =—— (/= 1,..., р), Ь = —. Тогда, возвратившись
°р ар
к обычной форме записи уравнения и изменив нумерацию аргументов переменных переходом от п + р к п, получим уравнение
Уп = С\Уп-\ + с2Уп—2 + - + СрУп-р + Ьхп. ' (4.40)
193
Соотношение (4.40) принято называть авторегрессионной р-то порядка моделью стохастического временного ряда и обозначать символом АР(р) или в зарубежном варианте AR(p). Рассмотренную ранее модель (4.38) можно рассматривать как частный вариант модели АР( 1). Иногда в этой модели предусматривают еще одно слагаемое, моделирующее средний уровень ряда, и тогда модель записывают в формеуп -cq + с\уп_\ + с^уп_2 +... + с^п_р + Ьх„. Это слагаемое можно интерпретировать как ненулевое математическое ожидание порождающего шумах,,.
Второй не менее распространенной в эконометрических приложениях моделью является так называемая модель скользящего среднего. Ее также можно получить, исходя из уравнения (4.32), если положить а0 = ах = ... = a9_j = aq+l = ... = ak = 0, bq+x = bq+2 =
, ья-і
=... = bm — 0. Обозначая «, =-----, і = 0, 1,..., q, и заменяя в нуме-
ая
рации переменных п + q на и, получаем модель скользящего среднего порядка q:
Уп d{pCn d\Xn-\ ••• dqXfi—q, (4.41)
которую в литературе часто сокращенно обозначают как CC(q) или МА(^).
Если в уравнении (4.32) положить ар+х = ар+2 — ... = ак = 0, b0 = by = ... = bp_g_{ = 0, bp+i = bp+2 = ... = bm = 0, ввести обозначения с,=—^-(/=1,2,...,^), d (/ = 0,1,.. .,p-q) и опять
аР ат
же изменить нумерацию аргументов переменных, заменив п + р на п, получим модель, известную под названием смешанной модели авторегрессии — скользящего среднего порядка р, q (сокращенно АРССО?, q) или ARMA(/>, q)) и имеющую, таким образом, вид
Уп = СіУ„_і + оуп-2 + - + СрУп-р + d&n + diXn_i + ... + dfa-g. (4.42)
Модель (4.32) определяет как стационарные, так и нестационарные временные стохастические ряды. Можно показать, что если все корни алгебраического уравнения
A(z) = а0 + axz + а2? + ... + ак? - 0, (4.43)
194
называемого, как и в аналогичном непрерывном случае, характеристическим, находятся в комплексной плоскости строго внутри окружности единичного радиуса, т.е. по модулю меньше единицы, то определяемый уравнением (4.39) процесс в установившемся режиме оказывается стационарным. Если же хотя бы один из корней этого уравнения находится за пределами единичной окружности или принадлежит ей, последовательность Yn будет нестационарной. Проиллюстрируем эту мысль на примере уравнения (4.38). Соответствующее ему характеристическое уравнение z — а = 0 имеет единственный корень z\ — а. Дисперсия Dy{n] определяемого этим уравнением временного ряда Yn, как было показано выше, имеет вид
DY[n) = a2nD0 + Ь2iV' =a2nD0 +(а2п -1)-у—.
/=0 а2-1
Легко обнаружить, что при а > 1 дисперсия Dy[n] оказывается возрастающей функцией и, и это является признаком нестационарное™ ряда. При а = 1 получаем Dy{n] = Do + b2n, что также свидетельствует о нестационарности ряда. И только при а < 1 дисперсия стремится к установившемуся значению, а ковариационная функция, что также было уже показано, перестает зависеть от «адресов» сечений, т.е. последовательность Уп становится стационарной. Подобное свойство проявляется и при многочленах A(z) произвольной структуры, если только корни многочлена A(z) не компенсируются аналогичными корнями многочлена B(z). В эконометрических приложениях среди всех возможных вариантов расположения корней характеристического уравнения особо выделяют случай, когда небольшая часть корней (один, два) оказывается равной единице, а остальные корни — внутри единичной окружности. Эта ситуация приводит к нестационарному ряду Yn, но такому, что разность некоторого порядка этого ряда оказывается стационарной. Покажем это.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100