Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 6

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 73 >> Следующая

1 Г 1 2
U)(y I х) = Ny{my(x),Dy(x)) = -r====expj — (у-ту(х))
У У У pnDy(x) [ Щ(х) У
Но тогда из сопоставления с (1.13) следует, что слагаемое ту + kyjjх2{х — тх) в (1.13) есть не что иное как условное математическое ожидание величины Y, т.е. функцию регрессии при гауссовских величинах Y и X удается найти без проведения операций интегрирования (1.6), а путем анализа структуры условной гауссовской плотности соО>| х). Итак, получаем:
my(x) = M{Y \Х = х} = ту +-^-(х-тх). (1.14)
а2
При этом сомножитель 2 2--------— в (1.13) определяет услов-
~ кух
ную дисперсию Dy(x) величины Y, т.е.
2 2_^2
D(Y \Х = х) = Dy(x) = M{(Y-my)2 \X = х} = -у* . (1.15)
<*х
Соотношения (1.14), (1.15) иногда удобнее использовать в другой редакции, если обозначить
к
^ух
/„2_2
16
Тогда
ту(х) = М{У\Х-х} = ту + гух
2
-f(x-mx), (1.16)
D(Y\X=x) = oy2(\-ryx2). (1.17)
Проанализируем полученные результаты.
1. Принципиально важным является то, что при гауссовских величинах УиХрегрессия Уна.Хоказывается линейно зависящей от значения х величины X.
2. Мерой связи величин УиХоказывается коэффициент корреляции гух. Если Гух = 0, то, как следует из (1.16), условное математическое ожидание величины Yвообще не зависит от значения величины X, т.е. из некоррелированности гауссовских случайных величин следует их независимость.
3. Условная дисперсия (1.17) величины Yне зависит от принимаемых величиной Xзначений. Если |ry]\ = 1, то D( КІ Х=х) = 0, а это означает, что при фиксированном X = х величина Y также оказывается фиксированной, причем, как следует из (1.16), на
02
~{х-тх). То обстоятельство, что при фиксиро-
уровне ту ±
ау
ванном Xвеличина Yпринимает также фиксированное значение, в свою очередь, означает, что в этом случае, т.е. при \ry]\ = 1, величины УиХ связаны функциональной зависимостью
у = ту± (оу2ах~2Г°’5(х - тх).
Из этих трех выводов обратим внимание на первый: функция регрессии в указанных условиях оказывается линейной. Это обстоятельство позволяет и в иных ситуациях, пусть не гауссовских, исходить из предположения о линейной структуре неизвестной функции регрессии, т.е. класс функций S ограничивать множеством линейных зависимостей вида
S = {(в,**)} = |_? ©г-*(0 J, (1.18)
где X* = [1 &2)... Л(в)]т, Л<0) = 1, (0, Ґ) - скалярное произведе-
ние векторов 0 и X*.
17
Здесь вектор экзогенных переменных X расширен до вектора Л"*, с тем чтобы в составе функции регрессии можно было управлять «постоянной составляющей», независимой от экзогенных переменных (аналогичная составляющая присутствует в (1.16)).
Класс линейных относительно экзогенных переменных и параметров 0 функций (1.18) является в настоящее время одним из наиболее используемых. Этому способствуют не только строгое обоснование этой модели при гауссовских величинах, но и, как будет показано далее, изящность, и простота получения значений параметра 0 на основе экспериментальных данных (1.1),
(1.2). Вместе с тем не следует считать класс функций (1.18) единственно применяемым. Естественным обобщением является множество вида
где \|/,{Х), / = 0, 1,2, ..., т — выбранные из определенных соображений базисные функции.
Линейный случай (1.18) является частным случаем (1.19). Могут быть применены и более сложные модели элементов множества S с нелинейной зависимостью от вектора параметров 0:
где, например, \|/0(^, 9) = ©0(Л'(|))а(Х(2))*... (JTW)C, a = Qub = 02,...,
Подчеркнем еще раз, что выбор и обоснование класса S является наиболее уязвимым и слабо защищенным теоретическими средствами местом в проблеме аппроксимации функции регрессии. В последующем мы еще раз возвратимся к этому вопросу и дадим ряд дополнительных рекомендаций, направленных на упрощение или усложнение аппроксимирующих моделей, если необходимость в этом будет выявлена. В целом же нужно стремиться к тому, чтобы класс 3 не оказался недопустимо упрощенным (это может привести к потере наиболее характерных свойств ап-
(1.20)
у,(*, 8) = 0, / = 1, 2,..., д.
18
проксимируемой функции регрессии), но и не был бы чрезмерно усложненным, ибо за этим могут последовать вычислительные осложнения обработки экспериментальных данных (1.1), (1.2) без достижения заметного положительного эффекта в качестве решения задачи восстановления зависимостей, понимаемого в том или ином смысле.
1.4. Некоторые специальные случайные величины и их свойства
Приводимые далее сведения известны из курса теории вероятностей и математической статистики. Однако чтобы опрометчиво не полагаться на память читателя, кратко напомним их.
Определение 1.1. Случайная величина е ~ N(0, 1), т.е. гауссовская с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, называется стандартной гауссовской случайной величиной.
Определение 1.2. Пусть Єї, 82, ..., е„ — последовательность независимых стандартных гауссовских случайных величин. Тогда случайная величина
х(п)= I ef,
/=1
говорят, имеет ^-распределение с п степенями свободы. В таком случае пишут х ~ %\п). Доказывается, что тх = и, а2 = п2.
Определение 1.3. Пусть е0, в], Є2, ..., в„ — последовательность независимых стандартных гауссовских случайных величин. Тогда случайная величина
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100