Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 59

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 73 >> Следующая

+ j )2(zTx + ¦j ); искомые сомножители 2(z + ^ ) и 2(z~l + ^ ).
С использованием современных вычислительных средств подобную процедуру несложно реализовать для возвратных многочленов произвольного порядка. В результате этой процедуры, которую также называют факторизацией, спектральную плотность ¦5у(г) удается представить в виде
„ ,_ч B(z)B(z-1) ,4_
Sy(z) =---------(4.37)
A(z)A(z~l)
где A(z) — знаменатель функции Sy^ (z), B(z) — результат факторизации ее числителя.
Из сопоставления выражений (4.37) и (4.35) следует, что при Sx(z) = 1 оба выражения совпадают. Но соотношение (4.35) получено на основе разностного уравнения (4.32), в котором последовательность Xj принималась случайной стационарной со спектральной плотностью S#(z). Тогда выражение (4.37) можно также считать следствием уравнения (4.32), но для последовательности Л/, имеющей единичную спектральную плотность. Такой последовательностью является дискретный белый шум с ковариационной функцией Кх[т\ = 8т о и, как следствие, со спектральной плотностью Syiz) = 1. Стохастическое разностное уравнение
(4.32), в котором последовательность принимается дискретным белым шумом с единичной интенсивностью, принято называть дискретным формирующим фильтром для стационарной случайной последовательности со спектральной плотностью
189
(4.37). Построение этого уравнения, таким образом, сводится к следующему.
Пусть Yh і = 0, 1, ..., — стационарная случайная последовательность с ковариационной функцией Ку[т\. Подобным (4.22) образом строятся функции
S$(z) = 2 KY[m\z-m, 1Ук(г) = ^(г)+^(г"1)-АГу[0].
т=О
После приведения к общему знаменателю функция Sy(z) приобретает вид Sy(z) = —где A(z) — знаменатель функции A(z)A(z )
*Sy+ (z), a Q(z) — некоторый возвратный многочлен. Этот многочлен подвергается факторизации, в результате чего его удается представить в виде Q(z) = B(z)B(z~x) с очевидным следствием
SY(z) = функция W(z) = -$-, называемая частопере-
A(z)A(z~1) А&
даточной, определяет разностное уравнение (4.32) формирующего фильтра. Принцип его построения легко обнаруживается из сопоставления уравнения (4.32) и структуры многочленов A(z) и B(z).
В иллюстративных целях рассмотрим следующий пример. Пусть К^[т\ = о2е~а^т[ Тогда SY(z) = a2 2 (е az 1)т =------,
т=О z-e
что справедливо при e~a\z~l\ < 1. Далее находим 5у(г) = о2(1-е~2а)
- —г,-----------17Г> т.е. в этом простейшем случае Q(z) =
(z-e “)(г -е u)
= ст2(1 — ё~2а) и, следовательно, B(z) = oyl~e2a, A(z) — z — е~а. Это позволяет уравнение формирующего фильтра представить в виде
Уп+1 -е~ау„=а^1-е~2ах„.
Обратим внимание на одно очень важное обстоятельство. Ранее уже отмечалось, что выражения (4.31), (4.35) справедливы по истечении большого, теоретически бесконечного, промежутка
190
времени. При ограниченном времени процессы, порождаемые уравнениями (4.28), (4.32), оказываются нестационарными. Чтобы их сделать стационарными при любых значениях времени, необходимо надлежащим образом подобрать начальные условия. Это, разумеется, касается и формирующих фильтров. В продолжение предыдущего примера покажем, как это можно осуществить. В целях лаконичности перепишем уравнение формирующего фильтра в виде
Уп+\ =ay„+bxn, а = е~а, 6 = cn/l-e~2a. (4.38)
Для формирования последовательности уп, п = 0, 1,..., образованной в соответствии с (4.38), предполагается, что с помощью некоторого генератора создается последовательность хп, п — 0, 1, ... как реализация дискретного белого шума единичной интенсивности и при каждом п по правилу (4.38) вычисляется соответствующее значение уп+\. Но чтобы «запустить» алгоритм, необходимо задать начальное условие у$. Попытаемся это сделать таким образом, чтобы процесс Y„, реализации которого образуются на основании (4.38), имел постоянную дисперсию а2 при всех п. С этой целью положим, что >'о является реализацией случайной величины У0, имеющей нулевое математическое ожидание /му{0] = 0 и пока неизвестную дисперсию Z>y[0] = Dq. Найдем эту дисперсию.
Усредняя обе части рекуррентного выражения (4.38), получаем
ту{п + 1] = ату{п\ + Ьт^п] = О => т^п] 0 при Vu,
т.е. последовательность Yn является центрированной. Далее возведем обе части того же выражения в квадрат и усредним. В результате получим:
Dy{n + 1] = a2Z>H«] + b2D^n] => Dy[\] =
= a2A, + b2, Z>H2] = a4D0 + a2b2 + b2,...,
Dy[n +1] = a2(n+1)Z)0 +b2 ? a2' = a2(n+l)D0 +(a2(n+1) -1)-|—.
1=0 a -I
Так как a2 < 1, то при я —> т.е. в установившемся режиме,
Ь2 2
Dy = —-— = а . Потребуем, чтобы это равенство выполнялось а -1 при всех я:
191
„««"А, +(«2<«»-1)-?-д> ?- = о2.
а -1 а -1 о-1
Таким образом, если начальное условие в (4.38) является не произвольным, а представляет собой центрированную случайную величину с дисперсией Do = ст2, то множество реализаций, полученных из белого шума с помощью формирующего фильтра (4.38), образует последовательность с постоянной при всех п дисперсией ст2. Покажем, что и ковариационная функция этой последовательности будет удовлетворять условиям стационарности. Для этого
/7-1 .
«свернем» алгоритм (4.38), записав Уп = апУо + Ь ? а'хп_хч, и найдем ,=0
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100