Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 58

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 73 >> Следующая

4.9. Формирующие фильтры
При разработке математических моделей стохастических процессов важную роль играет понятие формирующего фильтра. С математической точки зрения под формирующим фильтром понимают некоторое стохастическое уравнение, решение которого, будучи обусловленным порождающим белым шумом, представ-
186
ляет собой случайный процесс с заданными вероятностными свойствами. Универсального отработанного способа построения такого уравнения нет, однако для процессов с дробно-рациональными спектральными плотностями соответствующая методология известна. Рассмотрим вначале случай непрерывного случайного процесса.
Пусть Y(t) — стационарный случайный процесс со спектральной плотностью 5у(со). Ранее уже отмечалось, что эта плотность является четной функцией частоты со и для большинства имеющих практическую значимость процессов аппроксимируется дробно-рациональным выражением
с (<* С(о}2)
Sy( со)------
А со2)
где С(со2) = cq + С\со2 + с-^ + ... + ста>2т, D(nT) = d$ + d\со2 + +
+ ... + 4со2л, п>т.
Характерная особенность многочленов, зависящих от четных степеней аргумента со, проявляется в том, что их можно представить в виде произведения двух одинаковых многочленов, но один из которых зависит оту'со, а второй — от (—у'со). Например, а2 + со2 = = (а + у'со)(а + (—/со)). Это позволяет представить С(со2) = = /?(/со)/?(—у'со), Z>(co ) = A(j(o)A(-у'со), где 2?(/co) и A(J(o) — многочлены по у'со соответственно порядков тип. Подобную операцию принято называть факторизацией. В случае ее проведения получим факторизованную спектральную плотность
,„ч Д(у'соЩ-уш) ? A(j(n)A(-jcn)
B(jn)
A(jсо)
(4.36)
Сопоставим это выражение и ранее полученное выражение
(4.31). Если в (4.31) положить .S^co) = 1, то оба выражения совпадают, причем соотношение (4.31) получено на основе уравнения (4.28) при предположении, что X(t) является случайным процессом со спектральной плотностью *S^(co). Следовательно, и
(4.36) можно считать результатом, порожденным уравнением
(4.28), но при условии, что процесс X(t) имеет единичную спектральную плотность іУу(со) = 1. Как уже отмечалось, таким процес-
187
сом является белый шум с единичной интенсивностью. Но тогда процесс Y(t) можно интерпретировать как решение уравнения
(4.28), в котором левая и правая части построены по результатам факторизации (4.36), при порождающем белом шуме X(t) с единичной интенсивностью. Это уравнение при такой его содержательности и принято называть формирующим фильтром. Процедура его построения, таким образом, сводится к следующему. Проводится факторизация заданной спектральной плотности Sy{со), следствием чего являются многочлены A(j(o) и B(jсо). Технология этой операции отработана, содержится, например, в [7] и может быть усовершенствована с привлечением современных вычислительных возможностей. Полезно обратить внимание на то, что при правильно выполненной факторизации корни многочленов A(s) и B{s) имеют отрицательные вещественные части. По результатам факторизации составляется уравнение А(р)у(() =
d
= B(p)x(t), где р - — — оператор дифференцирования. Если X(t) -
белый шум с единичной интенсивностью, то это уравнение и будет представлять собой формирующий фильтр. Заметим, что если природа уравнения (4.28) не связана с результатами факторизации, но X(t) — белый шум, то это уравнение позволяет белый шум преобразовать в процесс Y(t), не обязательно стационарный, со свойствами, определяемыми операторами А(р) и В(р).
Подобная идея построения формирующего фильтра распространяется и на случайные последовательности, но здесь формирующий фильтр отождествляется не с дифференциальным, а с разностным стохастическим уравнением и дискретным белым шумом. В основе соответствующего подхода лежит соотношение (4.35), вытекающее из разностного уравнения (4.32). Итак, пусть рассматривается случайная последовательность У,, і = 1,2, ... с известной спектральной плотностью ?у(г), построенной в соответствии с (4.22). Функции 1Уу+(г) и Sy+ (г~’) обычно являются дробно-рациональными функциями аргументов z и г-1 соответственно, причем нули и полюсы функции Sy~ (z) лежат внутри окружности единичного радиуса. Если правую часть в выражении функции ?у(г), соответствующем определению (4.22), привести к общему знаменателю, то снова получим дробно-рациональное выражение. Его знаменатель представляет собой произведение двух одинаковых многочленов, но один из них зависит от г, а второй — от г-1. В числителе же окажется так называемый возврат-
188
ный многочлен вида q^Ck + q\Z~k+X + ... + q/c~\Zl + Qk + Qk-\Z + ... + + qiz^~l + qoz*. Особенность таких многочленов проявляется в том, что их можно представить в виде произведения двух одинаковых многочленов, из которых один зависит от z, а второй — от z~l. Для этого достаточно вычислить корни многочлена, разложить его на элементарные сомножители, сгруппировать сомножители, содержащие корни, по модулю меньшие единицы, и сомножители с большими по модулю корнями и затем преобразовать к требующемуся виду. Например: 2z~l + 5 + 2г = 2z~ (z2 +
+ I г + 1) = 2z~\z + \ )(г + 2) = 2(z + \ )(1 + 2Г1) = 2(z +
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100