Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 57

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 73 >> Следующая

Итак, теперь предположим, что X(t) — случайный процесс с известными числовыми характеристиками и связан с процессом Y(t) оператором (4.30). Необходимо найти аналогичные характеристики процесса Y(t) и установить статистическую связь между обоими процессами. Поиск решения задачи проводим в соответствии с общими результатами (4.24)—(4.27): t
1. mY(t) = \k(\i)mx(t-\i)d\i-,
о
~ 0
2. KY (tt, tj ) = Лі J k(\x)Kx (thtj - |i)d|Li =
0

= J J k(y)k(\x)Kx(ti - v, tj -ji)djidv; о 0
3. Dr(t) = Uk(v)k(vL)Kx(t-v, t-jLi)djLidv;
00
4
4. KXY(th tj)= ]k(\i)Kx(th /-|i)d(i;
0
5. Kyx(th tj) = jk(v)Kx(tj -v, tj)dv.
0
Если процесс X(t) является стационарным, эти выражения упрощаются:
182
1. mY(t) = mx\k(\y)d\i.\
О
h О
2. KY(tj, tj) = \ \k(v)k(\x)Kx(т-ц + v)d^idv, x = tj-1,;
00
3. DY(t) = |/A:(v)A:(|j,)^(v -(x)dndv;
00
fj
4. KXY (tj, tj)=! k(\x)Kx (x - n)dn;
0
5. KYX (ti ,tj) = ) k(v)Kx (t + v)dv.
0
Эти равенства показывают, что в общем случае процесс Y(t) даже при стационарном процессе X(t) является нестационарным. Однако существуют условия, при выполнении которых процесс Y(t) при достаточно больших //, tj становится стационарным.
Пусть процесс X(t) — стационарный и k(t) —» 0 при / —» оо таким образом, что все интегралы в предыдущих выражениях сходятся при /, th tj^> оо. Можно показать, что сходимость интегралов обеспечивается, если все корни уравнения A(s) = 0, называемого характеристическим, имеют отрицательные вещественные части. Тогда:
ОО
1. ту (/) = тх J ?(ц)сіц = mY = const;
о
2. Ky(ti9 tj)= J{*(v)A:(№(T-iLi + v)d^dv = ^y(T);
00
оооо
3. Dy(t) - f { k(y)k(\x)Kx(v -jLi)djLidv = Dy = const;
0 0
4. Kxy(th tj) = ~!тКх(т-ц№ = Кху(т);
0
5. Kyx(th tj) = ]k(y)Kx{x + v)dv^Kxy{x).
0
183
Таким образом, при выполнении указанных условий процесс Y(t), будучи при малых t нестационарным, со временем «превращается» в стационарный с перечисленными характеристиками. В этом, как говорят, установившемся режиме можем дополнительно определить его спектральную плотность
Sy(Oi)= I
J | &(у)&(|л)А'х(т-|л + v)d|xdv 00
-^dx.
Изменив последовательность операций интегрирования и обозначив т — ц. + v = у, dx = dy, получим
Sr(a>) = JJ*(v)*0i)
00
I Kx(x-\n + v)e -^dx
d|idv =
- Sx (со) J k(y)e~Jiavdv\/k(n)e^d^.
о 0
Так как по определению \k(v)e •,<ovdv = fK(yco), J ^(fi)e^djx =
о о
= fV(—ja>), окончательно находим
2
(4.31)
:|fF(yco)|2^(co) =
BUw)
Sx (со).
Таким образом, если эндогенная и экзогенная переменные связаны друг с другом дифференциальным уравнением (4.28), экзогенная переменная представляет собой стационарный случайный процесс со спектральной плотностью .SXco) и корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то спектральная плотность эндогенной переменной в установившемся режиме достаточно просто выражается через спектральную плотность экзогенной переменной и параметры уравнения (4.28).
Аналогичные соотношения можно установить и для случайных последовательностей Уп, Хп, п = 0, 1, 2, ..., связанных друг с
184
другом линейным разностным уравнением Ar-го порядка с постоянными параметрами:
яоУп + а\Уп+\ + <*1Уп+2 + - + акУп+к =
= Ьохп + Ьххп+1 + Ь&п+2 + ... + Ь„рсп+т, к>т.
(4.32)
Подвергнув это уравнение при отсутствии умышленных ограничений на начальные условия ^-преобразованию (см. приложение 1), получим, подобно (4.29),
где y(z), x(z) — изображения соответственно функций уп, х„ и A(z) = ао + a\z + a2z2 + ••• + B(z) = bo + b\z + + ... + bПе-
реходя от (4.33) в область оригиналов, получаем
что является оператором свертки, отождествляемым с решением разностного уравнения (4.33). Решетчатая функция к,¦ в (4.34) является оригиналом изображения lV(z)- Последующая работа с оператором (4.34) проводится точно так же, как и с оператором
(4.30), но в конечных соотношениях интегральные операции следует заменить суммированием. Так как соответствующее редактирование сложностей не порождает, приведем окончательные результаты для случая стационарной случайной последовательности X/, / = 0, 1,2, ... при дополнительном ограничении: корни характеристического уравнения A(z) = 0 по модулю меньше единицы, что обеспечивает сходимость соответствующих рядов и позволяет представить:
y(z) = mz)x(z),
A(z)
(4.33)
(4.34)
/•=о
KxyIx}= X k^Kxlх-ц]; ц=о и
адх]= S№ix+v].
v=0
Эти соотношения, как и их непрерывные аналоги, напомним, относятся к установившемуся режиму, в котором процесс Yj можно рассматривать как стационарный. В предшествующем переходном режиме последовательность Yt является нестационарной. Подвергнув ковариационную функцию Ку[х] двустороннему ^-преобразованию, найдем спектральную плотность процесса Yt, относящуюся к установившемуся режиму:
= X
Т=-оо
оо оо
X X kvk„Kx[х-ц + v] Z у=0ц=0
Снова, изменив последовательность операций суммирования и обозначив х — ц + v = у, получим
SY(z) = Sx(z)i: I, kvzv =
ц=0 v=0
= fV(zW(z~l)Sx(z) = B(Z)B{Z sx(z).
A(Z)A(Z~1)
(4.35)
Соотношение (4.35), таким образом, позволяет найти спектральную плотность случайной последовательности Yh если задано разностное уравнение (4.32) и известна спектральная плотность Sj^z) последовательности X/.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100