Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 56

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 73 >> Следующая

178
быстро и в них превалирует роль высокочастотных составляющих, что «расширяет» график спектральной плотности. Имеются и более строгие доказательства этого свойства.
Понятие спектральной плотности распространяется и на случайные последовательности. Однако поскольку ковариационная функция К^т] случайной последовательности является решетчатой, применить к ней интегральное преобразование вида (4.19) невозможно. Поэтому по определению под спектральной плотностью Sx(z) стационарной случайной последовательности понимают двустороннее ^-преобразование ковариационной функции №]:
Sx(z) = I Kx[m]Z-m, (4.21)
т-~ ©о
где z — комплексная переменная, и предполагается, что функция Кх[т\ удовлетворяет условиям сходимости ряда (4.21). Часто функцию (4.21) удобнее представить в виде:
^(г) = ^(г) + ^(г'1)-ад, Sx(z)= 1 Kx[m]z~m, (4.22)
m=О
где Sx+ (z) — одностороннее ^-преобразование ковариационной функции, для которого существуют обширные справочные материалы. Заменой z — ^ , со^є [—тс, л] спектральную плотность S^z) часто переводят в частотную область, но в данном случае в этом нет необходимости.
4.7. Преобразование случайного процесса линеиным оператором
Пусть X(t) — случайный процесс с известными математическим ожиданием mrfj) и ковариационной функцией K^th tj)^~ в результате воздействия заданным линейным оператором А преобразуется в случайный процесс Y(t), т.е.
Y(t) =AX(t). (4.23)
Задача заключается в поиске числовых характеристик случайного процесса Y(t) и взаимных ковариационных функций процессов X(t) и Y(t).
179
Решение задачи начнем с вычисления математического ожидания nty(t) процесса Y(t). По определению имеем my(t) = M{Y(t)} = = M{AX(t)}. Оператор усреднения М, как и оператор А, является линейным, причем оба оператора действуют в одном и том же функциональном пространстве случайных процессов. Поэтому, хотя в общем случае линейные операторы не коммутативны, в данном случае можно изменить последовательность их действия и записать my(t) =AM{X(t)\, что приводит к первому важному результату:
myit) =Amx(t). (4.24)
Ковариационную функцию Ky(tj, tj) процесса Y(t) ищем, используя тот же принцип рассуждений. По определению Ky(th tj) = = M{Y0(ti)Y°(tj)}. Так как Y°(t) = Y(t) - mj(t) =AX(t) -Amx(t) = = AX°(t), получаем Ky(th tj) = M{AjX°(tj)AjX°(tjj\, где индексы у операторов подчеркивают, по каким переменным (/, или tj) они действуют. Снова изменяя последовательность действия операторов М, Аі и Aj, получаем второй важный результат:
Ky(ti,tj) = AiAjKx(thtj) (4.25)
и, как следствие, Dyit) = Ky(t, t).
Поиск взаимных ковариационных функций не будем сопровождать развернутыми комментариями:
Kyxiti, tj) = М{ Y°(tj)X°(tj)} = МІА^тЩ)} = AjKxiti, tj), (4.26)
КхАЧ, tj) = М{Х°(1{)У°(ф} = M{X°(tt)AjX°(tj)} = AjK^U, tj). (4.27)
Аналогичным образом решается задача поиска вероятностных характеристик процесса Y(t), полученного преобразованием двух случайных процессов ДО и Z(/) соответственно линейными операторами А и В по правилу
Щ = AX(t) + BZ(t).
Прежняя методика преобразований позволяет установить, что: my(t) = Amx(t) + Bmzit),
Ку({ь tj) = AiAjKx^tj, tj) + AjBjKxAti, tj) + BjAjKzx(th tj) +В^К^ь tj),
180
f^Yxi^h tj) - AjKxitj, tj) + B/Kzxiti, tj),
Kyzfah tj) AiKxztti, tj) B№i, tj),
Kxriti, tj) = AjKx(tj, tj) + BjKxzfJj, tj),
Kzyith tj) — AjKzx(ti, ф + BjKzfJj, tj),
где символика обозначений не требует дополнительных пояснений.
4.8. Преобразование случайного процесса оператором свертки
Оператор свертки является частным случаем линейного оператора, широко применяемым при исследовании самых разнообразных динамических процессов и явлений, математическая модель которых представлена линейным дифференциальным или разностным уравнением с постоянными (для простоты) параметрами. Природа оператора такова.
Пусть два случайных процесса Y(t) и X(t) связаны друг с другом дифференциальным уравнением вида
аоу(0 + aiy(l\t) + а2У(2)(0 + ... + a„y(n)(t) = ^ ^
= адо + Л + ... + ^м(0,
где y^‘\t) — производная /-го порядка и п < т. Такие уравнения принято называть стохастическими. Изучение современной теории стохастических уравнений требует высокой математической культуры, и мы не будем в нее погружаться, ограничив рассмотрение стандартными приемами интегрирования дифференциальных уравнений в рамках операционного подхода (см. приложение 1). Преобразовав это уравнение по Лапласу при отсутствии искусственных ограничений на начальные условия, сведем его к следующему алгебраическому соотношению:
y{s) = fV(s)x(x), JV(s) = ^4, (4.29)
Ді)
где s — комплексная переменная Лапласа, y(s) — изображение функции y(t), x(s) — изображение функции x(t), A(s) = oq + a\s +
181
+ a2S2 + ... + a^1, B(s) = до + + b2S2 + ... + Ьт^. Чтобы из (4.29)
выразить функцию у((), необходимо это выражение подвергнуть обратному преобразованию Лапласа, которое на основании одного из свойств преобразования Лапласа можно представить в виде
ЯО = /?(й)*('-ц)Ф, (4-30)
о
где k(t) — обратное преобразование Лапласа от функции W(s). Выражение (4.30) и принято называть оператором свертки. Таким образом, оператор свертки является одной из форм представления решения дифференциального уравнения (4.28) при отсутствии предварительных ограничений на начальные условия.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100