Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 55

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 73 >> Следующая

Среди стационарных случайных процессов выделяют класс так называемых эргодических процессов, наиболее привлекательный с практической точки зрения. Пусть X(t) — стационарный случайный процесс и x(t) — некоторая его реализация, причем теоретически /є (—о®, оо). Построим по этой реализации следующие величины:
1 Т ~ 1 т , m= lim — J x(t)dt, D= lim — J (x(t)-m)2dt,
T—>°° 21 _y T—>oo 21
~ 1 T
Kr = lim / W0-w)(x(/ + x)-w)d/.
175
Далее положим, что процесс X(t) имеет математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию, определяемые обычным образом:
ОО оо
тХ = J xfX(x)dx, Dx = \ (х - тх)2 f(x)dx,
—оо —оо
оо оо
Кх(т) = f f (*i -mx)(x2 -mx)fx(xy, x2; т)сЦск2.
—oo —oo
Определение 4.17. Стационарный (в узком смысле) случайный процесс X(t) называется эргодинеским по математическому ожиданию и ковариационной функции, если с вероятностью единица выполняются равенства: т = тх, К(т) = А^{т) и, как следствие, D = Dx.
Таким образом, принципиальная особенность эргодического процесса праявляется в том, что основные его числовые характеристики могут быть определены по одной реализации процесса достаточно большой длительности без использования плотностей вероятностей. Усреднение проводится по времени, т.е., как говорят, «вдоль процесса». Для неэргодического процесса эти же характеристики приходится искать в соответствии с их классическим определением, использующим плотности вероятностей, поиск которых, в свою очередь, основывается на обработке множества реализаций процесса. Поэтому говорят, что характеристики неэргодического процесса находятся усреднением по множеству реализаций или «поперек процесса». Не любой случайный процесс является эргодическим. Существуют специальные условия, выполнение которых обеспечивает эргодичность. В частности, гауссовский процесс является эргодическим, если lim Кх(т) = 0.
т->о° ю
Понятие эргодичности распространяется и на случайные последовательности. Однако интегральные операции при проведении временного усреднения здесь уже принципиально неприменимы и усреднение, если xh і = 0, ±1, ±2,... - реализация случайной последовательности, принимает вид:
1 N л 1 N
4.6. Спектральная плотность случайного процесса
Определение 4.18. Пусть ДО — непрерывный стационарный случайный процесс с абсолютно интегрируемой ковариационной функцией А^т). Тогда спектральной плотностью iS^(co) процесса ДО называют двустороннее преобразование Фурье от его ковариационной функции
5х(со)= / Kx(T)e~jmdT, (4.19)
—оо
где со — параметр, обычно называемый частотой; j — мнимая единица (/2 = — 1).
Так как Л^т) - четная функция и e~jm = cos ют - y'sin сот, то можно записать
оо
^(со) = 2/A'a-(t)cos «xdx,
О
откуда следует, ЧТО Sx(lо) является четной функцией со. Справедливо обратное представление
Кх(х) = / 5_y(o))^“xda) = —J 5^-(co)cos coxdco.
л о
Из последнего равенства вытекает важное следствие
&х = К х(®) = —J Sx (со) dco. (4.20)
п 0
Выявим физический смысл спектральной плотности. С этой целью дополнительно предположим, что ДО — эргодический центрированный процесс. Тогда
Dx = Нш / (x(0)2df.
Т-->00 2.1 _гр
Последнее соотношение показывает, что дисперсия представляет собой среднюю мощность процесса. Это обстоятельство позволяет следующим образом интерпретировать равенство (4.20): случайный процесс ДО условно можно представить как
177
линейную комбинацию бесконечного количества составляющих гармонического типа, частоты которых непрерывно заполняют
1
весь диапазон [0, «>); тогда величину ~5^((o)d(o можно трактовать как среднюю мощность составляющих процесса, частоты которых принадлежат отрезку [со, со + dco]; суммирование (интегрирование) этих мощностей по всему диапазону частот приводит к средней мощности всего процесса. Следовательно, сама спектральная плотность с точностью до множителя 1/я представляет собой плотность распределения мощностей гармонических составляющих процесса по частотам.
Спектральные плотности для большинства случайных процессов, моделирующих реальные явления, построены и систематизированы в различных литературных источниках. Приведем некоторые.
1. Кх(х) = с8(х), с = const => ?д(со) = с.
2
2. Кх(х) = ст2 ехр{-а | т|} =» 5^(со) = 2° а .
со +сг
2 , it, о о/ч 2а2а(со2+а2+Р2)
3. Kx(-z) = а1 ехр{-а|х|}cosРх =>Sx(со) = ¦—-------—---------—.
(со -а -Р ) +4а со
4. Кх(х) = оехр{-а|х|}
cosPx +—sinp|x
г
„ , ч 4ст2а(со2+а2) > Sx (со) = -.. ...........
(со2 -а2 -р2)2 +4а2со2
Полезно отметить еще одно свойство пары «ковариационная функция — спектральная плотность»: чем шире график ковариационной функции, тем уже график спектральной плотности, и наоборот. Объясняется это следующим обстоятельством. Широкий график ковариационной функции говорит о том, что процесс характеризуется большим временем корреляции, т.е. его реализации медленно меняются во времени. Но это означает, что мощность процесса определяют низкочастотные составляющие, и график спектральной плотности концентрируется в области низких частот. Узкому графику ковариационной функции соответствует малое время корреляции, реализации процесса меняются
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100