Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 54

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 73 >> Следующая

KXY(tj,tj) = M{X°W° (/))} =
oo oo
J J (x-mx (tj))(y - my (tj ))fXY (x, y; tj, tj)dxdy.
—oo—oo
Эта функция, представляющая собой среднее значение произведения двух центрированных сечений процессов X(t) и Y(t), используется в качестве меры статистической связи этих процессов. Если при некоторых tj, tj Kxyitj, tj) = 0, то говорят, что сечения Х(ф и Y(tj) некоррелированы. Если же это равенство выполняется при любых tj и tj, то процессы называют некоррелированными на всем множестве их определения. В соответствии с определением Kxyitj, tj) = Kyxitj, tj). Если Z(t) = X(t) + Y(t), где X(t) и Y(t) — два случайных процесса, то
Ыи, tj) = M{Z°(t,)Z°(tj)} =
= Kxitj, tj) + Kxy(,tj, tj) + Kyxitj, tj) + Ky(tj, tj).
172
Если же процессы не коррелированы, то KtfJi, {/) = %х(Ь, tj) + + Kyith tj).
Ковариационные и взаимные ковариационные функции естественным образом распространяются и на векторные сучайные процессы, но в этих случаях соответствующие ковариационные функции оказываются матричными. Так, если X(t)e R", Y(t)e Rm — два векторных случайных процесса, то по определению:
Kx(ti, ф = M{X°(ti)(X°(tj))T}e Rnxn,
KY(th tj) = ЩГ°т?°(ф)Т)еRmxm,
KX,y(th tj) = M{X°(tj)(Y°(tj))T}eRnxm,
Ky,x(ti, tj) = M{Y°mX°(tj))T}e Rmxn.
4.5. Стационарные и эргодические случайные процессы
Все случайные процессы принято делить на два широких класса — стационарные и нестационарные процессы, что связано с рядом принципиальных различий в их характеристиках.
Определение 4.15. Случайный процесс X(t) называется стационарным в узком смысле, если все конечномерные функции распределения вероятностей любой размерности инвариантны относительно сдвига во времени, т.е при V«, t:
Fx&u *2> хп; tb t2,..., tn) =
. . . (4Л8) = Fx(xh хъ ..., xn; t\ + t, t2 + t,..., tn + f).
Из определения следует, что процессы X(t) и X(t + t*) имеют одинаковые распределения. Процессы, не удоволетворяющие определению (4.18), принято называть нестационарными в узком смысле. Из (4.18) вытекает ряд свойств.
1* fxfaЬ Х2, •••> хп> t\, t2, ••., tn)
= fx(x 1, x2, X„; ti + t, t2 + t, ..., tn + t),
так как плотность вероятностей как производная от (4.18) также инвариантна относительно сдвига t.
173
* и*
2. Пусть п = 1 и выберем t = —Тогда//) =fx(x; /,¦+/) = ~/х(х), т.е. одномерная плотность вероятностей стационарного в узком смысле процесса одна и та же во всех сечениях процесса.
3. Пусть п = 2 и выберем /* = Тогда/л<хь х2; //, /у) =/я<*ь х2; tj — t) =fx(xь т = /у - //, т.е. двумерная плотность вероятностей стационарного в узком смысле случайного процесса не зависит от того, как выбраны сечения //, tj, а зависит лишь от расстояния т между сечениями.
4. Математическое ожидание стационарного в узком смысле процесса является постоянной величиной:
оо
тх = M{X(t)} - J x^(x)dx = const.
—оо
5. Дисперсия стационарного в узком смысле процесса является постоянной величиной:
Dx =M{(X°(t))2}= °І (х-тх)2 fx{x)dx = const.
—ОО
6. Ковариационная функция стационарного в узком смысле процесса не зависит от моментов времени /„ /у, а зависит от расстояния x = tj — ti между ними:
оо оо
КХ(*і, tj)= J J (*i -mx)(x2 -mx)fx(xu x2; x)dx1dx2 = Kx(x).
—oo —oo
l.Dx=K№.
Помимо процессов, стационарных в узком смысле, выделяют класс процессов, стационарных в широком смысле.
Определение 4.16. Случайный процесс X(t) называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а ковариационая функция зависит только от расстояния между сечениями, т.е. mx(t) = тх— const, Drff) = Dx= = const, K]fah tj) = K^tj-tj) = A^x).
Из сопоставления двух последних определений следует, что стационарный в узком смысле процесс одновременно является стационарным и в широком, но не наоборот. Понятия стационарности в обоих смыслах совпадают лишь для так называемых гауссовских процессов, у которых одномерные и многомерные распределения являются гауссовскими. Аналогичным образом вводится понятие совместно стационарно связанных случайных
174
процессов. В этом случае M{X(tj)Y(tj)} = KXy(tj — /,) = К^х). Полезно заметить, что сумма двух нестационарных случайных процессов может оказаться процессом стационарным.
Свойства числовых характеристик стационарных процессов не противоречат их общим свойствам, изложенным выше. Тем не менее удобно заново их указать с учетом стационарности процессов.
1. Кх(т) = Кх(—т) — четная функция.
2. |Ад<х)| < Dx, |Л*(т)| < 1.
3. Если функция Кх(т) непрерывна в точке т = 0, то она непрерывна при Vt.
4. Для многих стационарных процессов К^х) —> О при х —» Величина хк такая, что |А*(х)| = 0 при х > х^, называется временем
1 °°
корреляции процесса. Часто принимают xk — J | Kx(,x)\dx.
5 .Кхг(х) = Ы-х). *°
6. {Кх^х))2<Кх{0)Кт = DxDy.
7. Если Z(t) = X(t)Y{t), где X(t) и Y(t) — стационарные центрированные независимые случайные процессы, то К^х) = = M{Z°(t)Z°(t + х)} = Ых)Ку{х).
8. Если Y(t) —g(t)X(t), где g(t) — детерминированная функция, Х(0 — стационарный случайный процесс, то Ky{th tj) = = g«i)g(tj)Kx(x).
Понятие стационарности распространяется как на непрерывные процессы, так и на случайные последовательности. Однако в последнем случае необходимо иметь в виду, что расстояние между сечениями представляет собой целое число периодов дискретизации (х = ml,, /и = 0, ±1, ±2,...), а ковариационная функция является решетчатой и ее обозначают символом К^т].
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100