Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 53

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 73 >> Следующая

Таким образом, ковариационная функция представляет собой среднее значение произведения двух центрированных сечений случайного процесса. Хотя в ее формальном определении присутствует двумерная плотность вероятностей, предполагается, что при практическом вычислении ковариационной функции удастся обойтись без этой плотности. Функцию
ад, tj) = M{X°(tj) X°(tj) =
оо оо
(4.15)
J J (Х[ -mx(tj))(x2 -mx(tj))fx(xb хг\ tj, tj)<\x{<\x2
(4.16)
169
называют корреляционной функцией случайного процесса X(t), или нормированной ковариационной функцией. Если Rxiti, tj) = 0, то говорят, что сечения X(tj) и X(tj) процесса X(t) не коррелированы. В частности, если эти сечения независимы, то они и не коррелированы. Действительно, при независимых сечениях выполняется (4.10), двойной интеграл в (4.15) распадается на два одномерных, каждый из которых равен нулю. Из равенства /?*¦(/„ tj) = 0 в общем случае не следует независимость сечений, но эту зависимость с помощью ковариационной (корреляционной) функции не удается зарегистрировать. Из неравенства Rx(ti, tj) Ф 0 вытекает зависимость сечений.
Приведем наиболее характерные свойства ковариационной функции.
1. K^itj, tj) = Kx(tj, tj), что непосредственно следует из определения (4.15).
2. Kxitj, tj) = Dx(ti) > 0, что опять же следует из (4.15).
3. Для любых т вещественных чисел д\, q2,..., qm и моментов времени t\, t2,..., tm выполняется неравенство
т т
2 'LqiqjKx{ti, tj)>0. (4.17)
i=lj=l
Чтобы убедиться в справедливости неравенства, достаточно
т 7
построить случайную величину т] = ? qiX°(ti) и вычислить М{х| }.
/=1
Функции со свойством (4.17) принято называть неотрицательно определенными.
4. ШЬ, ф)2йКМ, ti) Kxitj, tj) = Dx(tj)Dx(tj),
что является аналогом известного неравенства Коши-Буняков-ского. Это неравенство следует из (4.17), если положить т = 2, Яі = Я,Я 2=1-
5. Если ДО = g(t) + X(t), где g(t) — детерминированный процесс, X(t) — случайный процесс, то K^th tj) = tj), т.е. неслучайное слагаемое не изменяет ковариационную функцию случайного процесса. Это объясняется легко получаемым равенством Z°(t) = Xа (t).
6. Если Z(t) = g(t)X(t), где g(t) — детерминированный процесс, X(t) — случайный процесс, то К^Ц, tj) = g{t,)g(tj)K)^ti, tj). Это неравенство несложно получить, воспользовавшись определением ковариационной функции.
170
Полезно подчеркнуть, что все приведенные определения и свойства справедливы как для непрерывных случайных процессов, так и для случайных последовательностей. Однако для непрерывного процесса моменты th tj могут быть любыми в непрерывной области определения процесса, а для случайной последовательности они должны совпадать с дискретными моментами существования элементов последовательности.
При построении математических моделей непрерывных процессов большое значение имеет случайный процесс, называемый белым шумом.
Определение 4.10. Случайный процесс X(t) называется белым шумом, если M{X(t)} = 0 и Kx(tj, tj) = сЩ — tj)9 где с = const — интенсивность белого шума, 5(0 — дельта-функция Дирака, обладающая свойствами
Из этого определения следует, что любые два сечения белого шума при tj* tj некоррелированы, а дисперсия D^t) = оо. В силу этих обстоятельств белый шум является чисто гипотетическим процессом, реально не существующим, но представляющим собой весьма полезную математическую модель, широко применяемую при решении многих практических задач. Используется и более широкое толкование белого шума, при котором с — c(t) — функция времени.
При решении задач, основанных на концепции случайных последовательностей, используют другое понятие белого шума. Хотя применительно к иной ситуации это понятие уже использовалось, дадим соответствующее определение.
Определение 4.11. Случайная последовательность Х\9 Xi, ... называется дискретным белым шумом, если элементы этой последовательности независимы, M{Xj) = 0 и К^І9 tj) = M{XjXj) = с5/у, где, как и выше, с = const - интенсивность, 5/j - дельта-символ Кронекера, уже встречавшийся ранее и определяемый так:
171
Таким образом, дискретный белый шум представляет собой последовательность независимых центрированных случайных величин с постоянной дисперсией с. При более общем определении дискретного белого шума допускается с = c(tf).
Ковариационная функция K^t„ tj) случайного процесса X(t), как уже отмечалось, является мерой статистической связи двух сечений этого процесса. Для количественной оценки аналогичной связи, но двух различных процессов используют понятие взаимной ковариационной функции. Дадим соответствующие определения. Пусть X(t) и Y(t) — два случайных процесса.
Определение 4.12. Функция Fx> у(х, у, tj, tj) = P((X(tj) < x)n( Y(tj)<
< j>)) называется совместным распределением вероятностей процессов X(t) и Y(t) в моменты времени th tj.
Определение 4.13. Если Fx< у(х, у; tj, tj) — дифференцируемая
Э2
функция, то функция Д у(х, у; tj, tj) = Fx, у(х, у; tj, tj) называется совместной плотностью вероятностей процессов X(t) и Y(t) соответственно В моменты времени tj И tj.
Определение 4.14. Взаимной ковариационной функцией Kxyitj, tj) двух случайных процессов X(t) и Y(t) называется неслучайная функция переменных tj, tj.
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100