Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 52

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 73 >> Следующая

В соответствии с (4.7), (4.8) двумерная плотность выражается через одномерные
Ых\, *2; th tj) =Мх 1; //) х/х(хъ фс 1; ti) =
= Ыхъ tj) ХМХь Фг; 0-
Если же поведение процесса в одном из сечений не зависит от его поведения во втором, то
МхЬ и|х2; /у) =Мхь ti),fx(x2\ tj\xь /z) = 1Q)
= /л<*2; tj),fx(xu Хг\ th tj) =fx(xі; /у),
и сечения Д//), Д//) называют независимыми. При независимых сечениях двумерная плотность оказывается равной произведению одномерных.
Принцип определения двумерных законов распределения вероятностей и плотностей вероятностей распространяется на произвольное число /2 сечений случайного процесса X(t), что приво-
166
дит к понятию соответствующих л-мерных характеристик. Рассмотрим п сечений случайного процесса, относящихся к каким-либо п моментам времени t\, t2, ..., и зададимся п числами jcj, jc2, ..., х„. Тогда по определению принимается
Fx(xU х2> ". хп'у t\> •••> t„) = P
П (X(ti)<xj)
ч'=і .
т.е. /г-мерный закон распределения вероятностей представляет собой вероятность совместного выполнения п указанных событий и является функцией п аргументов х\, X2,..., хп. Аналогичным образом определяют w-мерные плотности вероятностей
*1 хп
J -I fx(xь х2> •••> xn;tb ..., /„)dbcidbc2...dc„ =
—оо —оо
Fjfau х2> •••> х„; h, 12, /2. t„),
или же при дифференцируемой функции F^xi,x2, ...,х„; /ь /2,..., /„)
Эх,Эх2...Эх„ Fx(Xb Хъ Ч’ tn) =
fxfrl, х2> •••* хп> t\, ^2> * * *, ^/|)*
Эти функции обладают свойствами, подобными перечисленным выше в связи с двумерными характеристиками, и мы их опускаем. Особо отметим, что
fx(x 1, ХЪ ..., Хп, /Ь /2, ..., tn) =fx(xX\ hVAx2, h\*u t\)fxixb t$K\, Xj, t\, t2)...
-Mx„; /„1*1, *2. xn-u h, h, tn-1), (4.11)
где смысловое содержание условных плотностей сохраняется прежним. Если же выбранные сечения независимы, соотношение (4.11) существенно упрощается и л-мерная плотность выражается через одномерные
п
fx(x 1> *2> •••> > ^1 > ^п) ~’ П fx (^/> ^/)* (4.12)
1=1
167
Выражение (4.12) подкупает своей простотой по сравнению с общим выражением (4.11). К сожалению, его применимость ограничена случаем независимых сечений, что в практических задачах встречается не часто. Вместе с тем есть определенный класс случайных процессов, для которых представление многомерной плотности занимает промежуточное положение между (4.11) и (4.12). Такими процессами являются марковские.
Определение 4.8. Случайный процесс X(t) называется марковским, если при любом выборе последовательности аргументов t\, t2,..., tn выполняется равенство
Шп\ Ф\, х2> •••> *л-і; h> h, •••> tn-1) =Mxnl фп-ъ tn-\), (4.13)
т.е. условная плотность процесса в я-м сечении при фиксированных значениях процесса в предыдущих (п — 1) сечениях зависит от значения процесса только в предыдущем (п — 1)-м сечении и не зависит от «предыстории». Это означает, что если марковский процесс в какой-то момент времени х принял значение х, то распределение вероятностей в любой последующий момент времени t > х определяется его значением х именно в этот момент х и совершенно не зависит от его реализаций до момента х.
Для марковского процесса соотношение (4.11) принимает вид:
f)^X\, Х2, ...» Хп, t\, Ї2, ..., tn)
= fxfrU t\)fx(x2, t2\xu t])fxixy, t3\x2; t2)...Mx„; /л(х„-ь Vi)-
Иными словами, и-мерная плотность марковского процесса выражается через одномерную плотность первого сечения и условные одномерные плотности последующих сечений при фиксированных значениях только единственного предыдущего сечения. Если воспользоваться определениями (4.7), (4.8), получим
/х(х\, Х2,..., х„; t\, t2,..., tn) =
(4.14)
п-1 п-1
П/(*/> хм, U* U+\) ПА*/, xi+b tn
_ j=l_____________________ /=1_________________________
n-1 /7—1 00 *
П/(*,-; и) П / f(Xj, xM;thti+i)dxi+i
/=2 /=2—00
Таким образом, «-мерная плотность вероятностей марковского процесса выражается через двумерные плотности. Это бо-
168
лее сложное представление, чем простейшее (4.12), но значительно проще общего случая (4.11). И если случай независимых сечений является прикладной «экзотикой», то марковская модель широко распространена при описании весьма разнообразных реальных процессов и явлений.
4.4. Ковариационные и взаимные ковариационные функции случайных процессов. Белый шум
Двумерные плотности вероятностей характеризуют свойства случайного процесса совместно в двух сечениях. Однако поиск этих плотностей не является тривиальной процедурой. Поэтому при решении прикладных задач стремятся использовать более доступные в практическом отношении характеристики случайного процесса, пусть менее точно, но тем не менее отражающие взаимные свойства двух сечений процесса. В качестве своеобразной меры статистической связи двух сечений случайного процесса, относящихся к моментам времени tj и tj, применяют так называемую ковариационную функцию Kxitj, tj). Прежде чем дать соответствующее определение, условимся центрированным называть процесс X°(t) = X(t) — mx(t), имеющий нулевое математическое ожидание.
Определение 4.9. Неслучайная функция переменных tj и tj
называется ковариационной функцией случайного процесса X(t).
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100