Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 51

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 73 >> Следующая

а
Наконец, полезно заметить, что плотность вероятностей fx(x; tj) как производная от неубывающей функции F%(x; t,) является неотрицательной функцией. Если функция F%(x; tj) имеет разрывы, то плотность вероятностей и в этих точках формально может быть определена введением 8-функций с интенсивностями, равными величинам скачков (разрывов).
Введенные характеристики процесса X(t) полностью отражают в сечении // его вероятностные свойства. Однако во многих случаях можно ограничиться более скромной информацией о процессе, сосредоточенной в его числовых характеристиках. В качестве таковых, как и для случайных величин, используют математическое ожидание (среднее значение) /и*{/(), средний квадрат С*(//), дисперсию Dx(tj) и среднеквадратическое отклонение 3x(tj). По определению имеем:
mx(ti) = M{X(ti))= J xf{x- tj)dx;
—oo
Cx(ti) = M{X2(ti)}= 7 x2f(x; tj)dx;
—OO
Dx(tj) = M{(X°(tj))2}= 7 (x-mx(tj))2fx(x- tj)dx;
—oo
З х({і) = 4^х(Ф-
Здесь, как и ранее, М{...} — символ усреднения, Xа(tj) — центрированная случайная величина. В соответствии с определениями все эти характеристики являются неслучайными числовыми величинами, причем математическое ожидание m^tj) представ-
163
ляет собой ту величину, относительно которой разбросаны отдельные реализации процесса X(t) в сечении а дисперсия является мерой этого разброса. Полезно отметить ряд очевидных свойств:
M{g(ti))=g(tl), М{ Y(ti) = g(tj)X(tti) = g(ti)mx(ti)>
Если процесс X(t) является непрерывным и аргумент пробегает все возможные значения в соответствии с областью определения Т процесса, то его математическое ожидание и дисперсия могут рассматриваться как детерминированные функции времени соответственно mx{t) и D\{t)- Для случайной последовательности Xj аналогичным образом получим детерминированные решетчатые функции /ид{/] = «*(/,•) и D}\i\ = Dx(tj), /=1,2,....
4.3. Многомерные характеристики случайного процесса. Марковские процессы
Как уже отмечалось, одномерные характеристики случайного процесса X(t) отражают его свойства в одном сечении и, следовательно, не содержат никаких данных о поведении процесса во времени, т.е. в динамике. Этой цели служат многомерные распределения — двумерные, трехмерные и т.д. Рассмотрим вначале двумерный случай.
Итак, пусть X(t) — случайный процесс. Выделим какие-либо два сечения X(tj) и X(tj) этого процесса, соответствующие моментам времени tj и tj, и зададимся произвольными числами х\ и х2, относящимися соответственно к /'-му и у-му сечениям.
Определение 2.5. Функция F^xx, х2, tj, tj) = P((X(tj) < х\)п(Х(ф
< х2)) называется двумерной функцией распределения вероятностей случайного процесса X(t) в моменты времени и tj.
где Cj-e R, Xj(t) — случайные процессы;
СМ = Ш) + (тМ)2\
если g(t) — неслучайная функция, то
164
Таким образом, двумерная функция F^pc\, х2\ th tj) представляет собой вероятность совместного выполнения двух событий: процесс X(t) в момент времени tj принимает значение, меньшее некоторой величины X], а в момент tj — меньшее х2. Аргументами этой функции являются переменные X) и х2, а величины tj, tj указывают сечения, к которым эта функция относится. Основные ее свойства.
1. Функция Fx(xі, х2; tj, ф неотрицательная, неубывающая и непрерывная слева по каждому из аргументов xj и х2.
2. Если хотя бы один из аргументов стремится к — функция распределения вероятностей стремится к 0.
3. F(<=°, со; tj, tj) = 1.
4. F&Cі, «о; tj, tj) = Fxix^tj); Fx(°°, x2; tj, tj) = F^x2,tj).
5. F(xu x2; tj, tj) = F(x2, xj; tj, tj).
6. 0 < F{xi, x2; tj, tj) < 1 при Vxi, x2.
Определение 4.6. Пусть существует функция fx(xi, х2, tj, tj), такая, что можно представить
X.
I ) fx(xі. хъ tj, tj)dx,dx2 =Fx(xu x2; tj, tj), (4.5)
—oo —oo
ИЛИ при дифференцируемой функции F(X\,X2, tj, tj)
02
fx(x 1, x2; tj, fj) = д d F(xi’ x2; *І> *j)- (4-6)
Тогда функция fx(x\, x2; tj, tj) называется двумерной плотностью вероятностей случайного процесса X(t) в моменты времени tj и tj.
Характерные свойства этой функции.
1 .fx(xі, х2; tj, /y)dxidx2 = Р(х\ <X(t,) <xj + dx\nx2<X(tj) <x2 + dx2).
oo oo
2- J / fx(xi> хъ U> /y)dxjdx2 =1 (условие нормировки).
—oo —oo
3./л<хь x2; tt, tj) =fx(x2, хь tj, tj).
4./л<Х!, x2; tj, tj) > 0 при Vxj, x2.
5- / fx(xl. x2> tj)dxі =/x(x2; tj);
—OO
oo
J fx(xl. x2; tj, tj)6x2=fx(xx; tj).
—OO
165
Определение 4.7. Функция
г / .с .4 fx(X\> ХЪ 0>
'і 1*2- '/)= ’ (4-7)
где принимается fx(x2, ti) * 0, называется условной плотностью вероятностей процесса X(t) в момент времени ґ/ при условии, что в момент tj процесс принял значение JC2- По аналогии вводится условная плотность
ь *?; tj, t:)
fx(x2, tj\xx, /,) =---^(xi. ^ 7 , fxixf, tj)*0. (4.8)
Условные плотности fx(xi; /,jx2; tj),fAx2l {/Iх b U) не следует путать С одномерными ПЛОТНОСТЯМИ fx(X\\ ti),fx(X2\ tj), которые часто называют в целях противопоставления безусловными: безусловная плотность вероятностей в одном из сечений строится независимо от поведения процесса в другом сечении; в то же время условная плотность в одном из сечений строится в предположении, что процесс во втором сечении принял некоторое фиксированное значение. Как плотность вероятностей, условная плотность обладает теми же свойствами, что и безусловная плотность вероятностей.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100