Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 50

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 73 >> Следующая

Возможны более сложные конструкции случайного процесса. Так, случайный процесс X(t) может быть не скалярным, а многомерным. Если X(t) — вектор-функция, каждый компонент которой представляет собой случайный процесс, то такой процесс X(t) принято называть векторным. Аргумент t также может быть векторным: например, совмещать время и пространственные координаты какого-либо изменяющегося во времени и распределенного в пространстве явления, скажем температуры. Такой процесс X(t) принято называть случайным полем.
4.2. Одномерные характеристики случайного процесса
Основное внимание далее уделяется процессам с непрерывным множеством их значений — непрерывным случайным процессам и случайным последовательностям. Этот выбор определяется эконометрической направленностью пособия, так как именно такие процессы наиболее характерны для эконометрических приложений. При этом мы не будем обсуждать такие «деликатные» понятия, как среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость случайных процессов, стохастические дифференциальные уравнения Ито и Стратоновича и многое другое, отражающее современный математический уровень теории стохастических процессов, а ограничимся тем минимумом сведений, который необходим для решения основных прикладных задач. Математическое описание случайных последовательностей будем совмещать с аналогичным представлением непрерывных процессов, делая соответствующие комментарии в
160
случае необходимости в них. Непрерывные случайные процессы условимся обозначать прописными символами — ДО, Y(t) и т.п., а их реализации строчными — соответственно x(t), y(t) и т.п. Аналогичным образом за случайными последовательностями закрепим обозначения Xt, Yj и т.п. (/ = 1, 2,...), а за их реализациями — X/, у/и т.п. При этом если множество значений индекса / конечно, т.е. /=1,2, ..., N, то случайную последовательность будем называть стохастическим временным рядом. Будем полагать, что как последовательность, так и ряд сформированы на основе равномерно поступающих во времени данных, т.е. tt = /,¦_і + ?, где ? = const — так называемый период дискретизации. При рассмотрении характеристик, общих для непрерывных процессов и последовательностей, будем использовать единый символ ДО, если это не порождает каких-либо недоразумений.
Характеристики случайных процессов принято разделять на одномерные, относящиеся к одному конкретному сечению, и многомерные, отражающие свойства процесса совместно в нескольких сечениях. Так как в сечении случайный процесс является случайной величиной, то его одномерные характеристики совпадают с аналогичными характеристиками случайных величин, известными из курса теории вероятностей, что позволяет достаточно кратко изложить их.
Пусть t = tj — фиксированное сечение процесса Доопределение 4.3. Функция Fx(x', t/) = P(X(t,) < jc) называется одномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса ДО в момент времени ц.
Функция распределения, таким образом, представляет собой вероятность того, что в сечении tj случайный процесс ДО примет значение, меньшее некоторой величины х. Хотя формально она записана как функция двух переменных, ее аргументом является переменная х, а присутствие величины Ц объясняется желанием указать «адрес» сечения, к которому эта функция относится. Если не возникает недоразумений, эту величину не указывают. Характерные свойства этой функции таковы:
1. tj) = 0;
2- Fx(°°; tj) = 1;
3. Fx(b; 11) - Fx(a-, /,) = P(a < X(t,) < b), где a, be R;
4. Fx(b- ti) > Fx(a\ /,) при b>a\
161
5. Функция распределения непрерывна слева, т.е. =
= lim Fx(x; tj) при д: —> х0 - 0 и P(X(t‘) < хо) = Дх0; /,);
6. P(X(tj) = а) = О, если функция Дх; /,) в точке а непрерывна, и P(X(tj) = a) = lim Fx(b; tj)-Fx(a\ tj), если в этой точке имеет-
Ь->а+ О
ся разрыв первого рода.
Одномерная функция распределения, таким образом, является неубывающей, непрерывной слева с множеством значений [О, 1]; она имеет участки монотонного возрастания, участки постоянства и в некоторых точках может иметь разрывы первого рода.
Определение 4.4. Пусть существует функция/*{*; /,) такая, что можно представить
I fx(x> tj)dx = Fx(x-, tj), (4.1)
—оо
или при дифференцируемой функции Fjdx; )
fx(x; t') = -^Fx(x; Ь). (4.2)
Тогда функция fx(х; /,) называется одномерной плотностью вероятностей случайного процесса X(t) в сечении
Смысл плотности вероятностей заключается в том, что с точностью до бесконечно малых высших порядков выполняется равенство
fx(x; tj)dx = Р(х < X(tj) < х + dx),
и функция fx(x; /,) показывает, как эта вероятность распределяется вдоль оси х. В справедливости равенства несложно убедиться, если представить
jc+dx Jt+dx х
J fx(x> */)dx= J fx(x; tj)dx- J fx(x\ /,•)dx =
* (4.3)
=Fx(x + dx; tj) - Fx{x\ tj)
и функцию Fjfa + dx; /,) «линеаризовать» в окрестности точки х. Из (4.1) следует равенство
162
I fx(xi tj)dx = 1,
—oo
обычно называемое условием нормировки плотности вероятностей. Поступая аналогичным (4.3) образом, получаем еще один важный результат:
Шх; ti)dx = Fx(b- tt)- Fx(a; tt) = Р(а< X(tj)<b). (4.4)
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100