Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 5

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 73 >> Следующая

12
еще раз, что здесь и далее выделенные полужирным шрифтом символы указывают на их векторную природу.
Таким образом, при известной условной плотности со (у |Л"=х) величины Кв качестве оценки К этой величины следует принять ее условное среднее — функцию регрессии. Тогда саму случайную величину Гпри фиксированном значении экзогенных переменных X=х можно представить как сумму ее среднего значения ту(х) и некоторого случайного отклонения е(х), случайная природа которого порождена как влиянием латентных переменных, так и случайными ошибками, неизбежно сопутствующими процессу измерения эндогенных переменных. Это слагаемое может в общем случае зависеть от значений экзогенных переменных, что и отображается в записи е(х) = е(Х=х).
Итак, в соответствии с проведенными построениями связь эндогенных и экзогенных переменных, косвенно учитывающая влияние латентных переменных, сводится к соотношению
Y= mr(X= х) + е(Х= х). (1.7)
Из (1.7) непосредственно следует М{г(х) \ Х= *} = 0*, т.е. вектор є является центрированным. Дополнительно предполагается, что при любых х ковариационная матрица этого вектора является конечной (все элементы матрицы ограничены).
Выражение (1.7) принято называть регрессионной моделью эндогенных переменных. Его можно было бы рассматривать как конечный результат наших исследований на пути построения искомой математической модели. К сожалению, это преждевременный оптимизм, так как условная плотность со<>! Х = х) реально неизвестна и, как следствие, неизвестна функция регрессии. Поэтому выражение (1.7) отражает принципиальную структуру искомой модели, но не содержит той конкретики, которая составила бы инструментарий практической деятельности и алгоритмическое руководство ею.
1.3. Модели, аппроксимирующие функцию регрессии. Гауссовская регрессия
Итак, практически построить модель (1.7) не удается, так как неизвестна условная плотность со(у|Л'= х) и, как следствие, функция регрессии ту(Х = х). Однако проблемы, порожденные при-
13
кладными задачами, заставляют искать выход из возникшей достаточно сложной ситуации. И этот выход таков.
Условимся прежде всего в последующем рассматривать случай одной эндогенной переменной, т.е. положим размерность к вектора У равной единице. Соответственно функция регрессии в этом случае оказывается скалярной. Основная идея построения искомой модели заключается в следующем: зададимся некоторым классом S функций, которому принадлежит неизвестная функция регрессии. Четко сформулированных и формально обоснованных рекомендаций по выбору этого класса функций нет. Поэтому выбор определяется опытом и интуицией исследователя, предварительным анализом экспериментальных данных
(1.1), (1.2), априорными представлениями о сущности искомой зависимости и т.п. Подчеркнем тем не менее, что правильный выбор класса Е в значительной степени определяет успех всех последующих исследований, и поэтому удача здесь не только желательна, но и необходима. Наиболее апробированный подход заключается в формировании класса Е как множества определенных с точностью до вектора параметров 9 функций (параметрическое семейство функций) Н = {ДАГ;8)}. Если действительно ту(Х = х)еН, то параметры 0 можно подобрать так, что ту(Х = х) =ДХ;&). Если все же ту(Х = х)еЕ, то есть надежда на основе эмпирических данных (1.1), (1.2) подобрать такое значение 8 вектора 0, что с приемлемой точностью, определяемой в том или ином смысле, можно представить ту{Х= х) «ДА'; 8), и в обоих случаях вместо (1.7) положить
Y=f(X; 8)+ s(A), (1.8)
считая при этом функцию f(X; 8) аппроксимацией неизвестной регрессии.
Чтобы иметь какое-либо начальное представление о формирующих класс S функциях, рассмотрим не претендующий на общность случай двух гауссовских скалярных величин УиХи найдем регрессию УнаХ, используя определение (1.6). В этом случае каждая из величин и совместно обе являются гауссовскими, т.е.
У~ Щту, стД Х~ Nx(mx, оД Z= [УХ]Т ~ Nz(mz, Кг),
где N{.) — символ гауссовской плотности с указанными в скобках параметрами.
14
В развернутом виде, как известно,
Ny{my,oy) —
(1.9)
Nx{mx,o2x) =
,ст2) = —=ехр|---(х- тх)2 [,
рпа2 [ 2а2
(1.10)
Nz(mz,Kz) =
mz)\, (1.11)
где I Кг\ и Кг~] - определитель ковариационной матрицы и обратная ковариационная матрица соответственно (подобные обозначения используются и далее).
В соответствии с определением представим
и тогда совместная плотность вероятностей со (у, х) величин Y и X после проведения соответствующих операций в (1.11) с учетом симметрии кух = кху примет вид
где у — у — ту, х = х — тх — центрированные величины.
Чтобы вычислить регрессию (1.6), необходима условная плотность со(у|х), которая находится делением выражения (1.12) на выражение (1.10). Осуществив эту операцию, найдем показатель соответствующей экспоненты
(О (y,x) = Nz(mz,Kz) =
(2л)2(о2о2 -к^)
1
(1.12)
хехр-! -
2(ст2ст2 -кух)
(оіу2 - 2кухух + ajx2) L
15
* (ст2у2-ІкухУХ + а^уХ2)*^^^*;2 =
2(а2с2 -kjx)
(1.13)
—------(У~ту -кух0х1(х-тх))1.
Т/А2_і-2\'/ * **
Аа^ах *ух)
Так как гауссовская величина Кпри фиксированном значении величины X по-прежнему остается гауссовской, то условная плотность о>0>| х) является гауссовской и может быть представлена в виде
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100