Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 46

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 73 >> Следующая

ется решение Sq= — 'Z у/с, где т — некоторое количество началь-тк=і
146
ных членов ряда. В качестве прогнозированного значения Ym ряда в случае (3.80), (3.82) принимается
Ущ = SN.
При выполнении (3.80) в качестве альтернативного методу экспоненциального сглаживания можно рассмотреть рекуррентный метод наименьших квадратов, изложенный выше. В этом случае МНК-оценка величины а$, найденная по наблюдениям у\, у2, ..., Уі, рекуррентно выражается через оценку йо(/-1)> соответствующую наблюдениям у\, у2,..., у,-і, и г'-е наблюдение:
«о/ = «0(i-i) +~:(Уі -«о(Ы))> i = l,2,.... (3.86)
Внешне алгоритмы (3.82) и (3.86) очень похожи. Различие проявляется в том, что вес а второго слагаемого справа в (3.82)
постоянен, а в (3.86) аналогичный весовой коэффициент у является переменным во времени. Но это казалось бы незначительное различие порождает принципиально разные последствия. Распространив технологию преобразований (3.83) на (3.86), получим
_ _ 1 I. 1. .
«01 =Уь «02 = 2У2 + 2а°1 = 2(Уі +У2)’
12 1 1 / (3-87)
«03 =ТУЗ +Т«02 =г(У1 +У2 +^3). «0/ =7 х Ук.
3 3 3 I к=1
МНК-оценка (3.87), таким образом, как и экспоненциальное среднее (3.83), является линейной комбинацией наблюдений уі, У2,..., Уі, но, в отличие от (3.83), в (3.87) эти наблюдения входят с
одним и тем же весом у, т.е. алгоритм не «забывает» более ранние
наблюдения и для него все наблюдения одинаково важны. Если тренд действительно не изменяется на отрезке [1, Л], т.е. выполняется (3.80), то это свойство алгоритма (3.86) не порождает каких-либо критических замечаний. Но если вопреки (3.80) величина яо изменит свое значение в какой-то момент tse (t\, /дг), алгоритм (3.86) будет медленно реагировать на это изменение, так как проявляется сильное влияние ранних наблюдений, соответству-
147
ющих прежнему значению тренда ао. Алгоритм (3.82) более оперативно среагирует на это изменение, ибо в его структуре ранние наблюдения играют менее значимую роль, нежели поздние, соответствующие произошедшему изменению в тренде. В силу аналогичных причин алгоритм экспоненциального сглаживания может оказаться предпочтительнее и в случаях медленно «дрейфующего» тренда ао- Однако если (3.80) выполняется, то
M{a0i} = а0 при V/є [1, N],
т.е. рекуррентный МНК формирует несмещенную оценку тренда, начиная с первого наблюдения у\, а не ассимптотически, как в случае (3.84). Дисперсия
Ща(и} = {\/і2}м\ I ? 0 при/'-»°°,
1*=1У=1 ) 1
что также предпочтительнее (3.84). Дополнительно обратим внимание на то, что для алгоритма (3.86) не существует проблемы выбора начального условия 5qo> так как алгоритм нечувствителен к этой величине. Но еще раз подчеркнем, несмотря на эти достоинства, рекуррентный МНК менее чувствителен к возможным эволюциям тренда, нежели алгоритм экспоненциального сглаживания. И объясняется это именно тем обстоятельством, что при формировании МНК-оценки все наблюдения принимают участие с одним и тем же весом. В то же время при экспоненциальном сглаживании более ранние по отношению к текущему моменту времени наблюдения сопровождаются существенно меньшими весами, нежели наблюдения, приближенные к этому моменту. Это в значительной степени объясняет широкую популярность экспоненциального сглаживания при обработке временных рядов, включая и задачи прогнозирования.
Алгоритм (3.82) ориентирован на случай (3.80). Несложно выявить его поведение, если в действительности тренд окажется не постоянным, а, например, линейно меняющимся:
fi = a0 + a j/, /=1,2,..., N. (3.88)
Чтобы это сделать, удобно (3.82) переписать в виде
?ж - (1 - a)S, = ctfi+i, і = 0, 1,..., N- 1, (3.89)
148
где принято Рі+ і = 0. Выражение (3.89) представляет собой простейшее неоднородное разностное уравнение первого порядка с постоянными параметрами. Найдем его решение, соответствующее начальному условию 5Ь- С этой целью предварительно получим общее решение этого уравнения. Как известно, оно складывается из общего решения Sj однородного уравнения
Sl+l-(l-a)S, = 0 (3.90)
**
и какого-либо частного решения Sj неоднородного уравнения (3.89). Уравнению (3.90) соответствует характеристическое уравнение z— (1— ос) = 09 единственным корнем?[ — 1 — ос. Следовательно, Sj = с( 1 — а)', где с — постоянная «интегрирования». Частное решение уравнения (3.89) в случае (3.88) ищем в виде S** = />о + b\i, где йо, Ь\ — некоторые пока неизвестные константы. Для их определения функции Sj и (3.88) подставляем в (3.89)
и, рассматривая получающееся выражение как тождество, составляем систему уравнений <xbo + Ь\ = а(а^ + aj), ab\ = сш^из которой следует Ь$ = до — aiP/a, b\ = а\. Таким образом, Sj = = йо — я](3/сх + аи и общее решение уравнения (3.89) оказывается равным Sj = с( 1 — а)' + йо — а і Р/а + аи. Для решения задачи Коши используем начальное условие Sq = с + — aiP/a, из которого сле-
дует с = *So — ао + <2|Р/а, что позволяет окончательно записать
Sj = (.So ~а0 + aiP/a)(l - a)'' + a0 - atf/a + axi,
(3.91)
/=1,2,..., N.
Таким образом, если тренд изменяется по линейному закону, алгоритм экспоненциального сглаживания (3.82) формирует последовательность величин (3.91), которые отличаются от (3.88). Величину
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100