Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 45

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 73 >> Следующая

Можно, вычислив (3.74), построить доверительные интервалы для истинного значения ут прогнозируемой величины. Пусть вначале дисперсия ст2 известна. Так как вектор у является гауссовским, то ошибка прогнозирования г| является центрированной гауссовской величиной: г| ~ N(0, ац2) и, следовательно, г|/стл = = (ут—Ут)/оц ~ N( О, 1) — стандартная случайная гауссовская величина. При доверительной вероятности а должно выполняться /5{|г|/сгТ1| < Ya} = где y« — двухсторонняя а-квантиль стандартного гауссовского распределения, Р — символ вероятности. Но тогда —уа^ (ут —Ут)/(Уц < уа и с вероятностью а выполняется
Ym ~ Ya^ri — Ут ^ Уа^ту (3.76)
Если дисперсия сг2 неизвестна, то, как это делалось в регрессионном анализе, вычисляется ее МНК-оценка
д2'7гЬ|1<л-ф1г)2=га|,-фг|2'
Т
где Ф* — к-я строка матрицы Ф,
и находится оценка дисперсии (3.75)
ол2 = Э2(1 +фтт(ФтФГ1фт).
Далее находится величина х\/ац и средствами, подобными применявшимся в аналогичной ситуации в п. 2.3.8, доказывается, что эта величина распределена по закону Стьюдента с N—q — 1 степенями свободы: r|/an ~ t(N—q — 1). Но тогда приходим к подобному (3.76) результату:
Ym _ УоЭт! < Ут < Ym + Y«Pt|> (3-77)
143
где Yoc — двухсторонняя а-квантиль распределения Стьюдента с N — q — 1 степенями свободы.
Алгоритм прогнозирования существенно упрощается, если столбцы матрицы Ф ортогональны. Используя общий результат (3.74), несложно найти:
— ? Фк(^т) к=О
N
м____
N 1 /=1
(3.78)
_2 _ 2 СЦ=С
N 1 ІФ *(*<)
V /=1
(3.79)
Решение (3.74) легко распространяется на случайр ~ N(О, Кр), Міртр] = 0, т.е. на случай коррелированного гауссовского вектора р, но не коррелированного с величиной рт. Соответствующие величины оказываются равными:
W= Кр-1Ф(ФТКр~1ФГ1<рт,
Ym = <ртТ(ФТКр~' Ф)_ 1Кр V = ФJa,
= а2 + фтт(ФтАр_1Ф)_1фт.
3.5. Рекуррентное прогнозирование структурно детерминированных рядов
Распространенный метод прогнозирования временных рядов основан на применении рекуррентных алгоритмов типа экспоненциального сглаживания. В этом методе используется полиномиальная модель тренда
fi=l aktf / k\ k=О
и в зависимости от порядка полинома q, который обычно не превышает 2, применяют тот или иной алгоритм экспоненциально-
144
го сглаживания. Начнем рассмотрение с простейшего случая q = 0, которому соответствует модель ряда
У і = «о + Рь /=1,2,..., N. (3.80)
Существо метода заключается в последовательном использовании вычислительного алгоритма
Sj = ayi+$Sj-i, /'=1,2,..., N, а + Р = 1, ає [0, 1], (3.81)
или, что то же самое,
Si = і + а(у,-_ 5/_i) (3.82)
при некотором начальном условии Sq.
Величину Si принято называть экспоненциальной средней, параметр а — коэффициентом (параметром) сглаживания. Из
(3.81) последовательно имеем:
S{ = ауу + Р50, S2 = ау2 + Р^і = а(у2 + Рл) + Р2^о, S3 =
(3.83)
= а(уз + Ру2 + Р2л) + Р3*$о,
Sj =о.(уі +Py,_i +P2j,,_2 +... + Р' ViHP^o =а X P* V^+P^o-
k=1
Таким образом, величина Sj представляет собой линейную комбинацию всех предшествующих і-му моменту элементов ряда и /-го элемента, причем вес каждого элемента ряда в формировании величины Si в соответствии с показательной закономерностью, определившей название метода, становится тем меньше, чем дальше во времени этот элемент отстоит от /-го момента. Последнее можно интерпретировать как стремление алгоритма в большей степени доверять новым наблюдениям и в меньшей — более ранним, устаревающим. С ростом / количество участвующих в образовании *?,• наблюдений возрастает, причем вес ранних из них становится все меньшим. В случае (3.80)
S, =а0а І Р'-* +<х X р*~кРк +Р'5’0 =
к=1 к=1
=(1-Р')0о+аХ р'-Ч+Р'^о-
к=1
145
Математическое ожидание и дисперсия этой величины оказываются соответственно равными:
Л/{5/} = (1-р,)в0 + р,5Ь, (3.84)
z){s,}=oAi/fi; Ір2^ = ст2а(1-р2'). (3.85) [л=і y=i J /=0 2_а
02а
Так как Р < 1, то при M{.S/}—nzq, }-» ^——• Таким об-
разом, при достаточно больших /, что, в свою очередь, возможно при большом объеме N выборки временного ряда, величина S, может рассматриваться как несмещенная оценка не изменяющегося во времени тренда а$. При этом параметр р, характеризующий
a
эффективность сглаживания, оказывается равным Р = 2_а <1-
Формально наивысшая эффективность достигается при a = 0. Однако этот результат лишен практического содержания, так как в этом случае S, = Sq = const и говорить о каком-либо сглаживании ряда бессмысленно.
При использовании алгоритма (3.82) возникают по крайней мере, два важных в прикладном отношении вопроса: как выбрать начальное условие Sq и параметр сглаживания а. Однозначных ответов на эти вопросы нет. Из приведенных соотношений следует, что малые значения а обеспечивают высокую эффективность сглаживания, но при этом может недопустимо «затянуться» процесс достижения величинами Л/{5,} и D{Sj) их предельных значений, соответствующих наилучшему сглаживанию и условию несмещенности. Большие значения а ускоряют переходный процесс, но ухудшаются сглаживающие свойства алгоритма. Требуется компромиссное решение. Часто рекомендуют выбирать а в пределах [0,1; 0,3]. Но известны [16] и аргументированные возражения против этих рекомендаций. Аналогичные проблемы возникают и при выборе Sq. В идеале хотелось бы иметь Sq = oq и тогда из (3.84) следует М{5,} = oq независимо от /. Но это практически недостижимое фантазирование, так как тренд а$ неизвестен (иначе не было бы задачи). Иногда вполне приемлемым оказыва-1 т
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100