Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 43

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 73 >> Следующая

. Njt'-a)
b-a
(3.57)
N
f{ti)= X ckPkN(ti), і = 0, 1, ..., N,
(3.58)
Pk,N\i\= І (~l)mCkCk+m(i/N)m,
(3.59)
где Cmk = k\ / m\(k — m)\ — биномиальные коэффициенты. В частности,
Л), лМ = 1,
^И = І-тг+
6/ 6/(/ -1)
~N + N(N-1)
^W = l-T7 +
12/ 30/(/-l) 20/(/-!)(/-2)
A^+iV(#-l) iV(iV-l)(7V-2)'
Многочлены (3.59), часто называемые дискретными полиномами Лежандра— Чебышева, обладают свойством
т.е. многочлены ортогональны, но не нормированы. Их использование для моделирования тренда аналогично общему случаю
(3.41) с естественной заменой функций e^tj) на ортогональные многочлены.
3.3. Предварительное (локальное) сглаживание временных рядов
Одной из часто используемых операций, направленных на уменьшение влияния случайной составляющей ряда на точность оценивания параметров тренда, является локальное сглаживание ряда. Сущность этой операции заключается в следующем.
Пусть наблюдается ряд (3.1). Зададимся некоторой величиной m«N и рассмотрим фрагмент ряда, соответствующий отрезку
Vi-mJi+mh Т.е. СОВОКУПНОСТЬ ВЄЛИЧИН = [Уі-т _У,-т+1 ... у( ...
Уі+т] . Здесь предполагается / > m + lni<N-m- 1. Так как длина отрезка tl+m\ существенно меньше общего интервала наблюдения [t\, ґдг], то на отрезке Ь+т] можно использовать более простую модель тренда по сравнению с моделью, например
(3.2), соответствующей отрезку [/і, /дг]. Обычно в качестве таковой используют многочлен невысокого порядка типа (3.3), т.е. принимают
п ,
ys = ? bk(s-i) +ps, se[i-m, / + /и], лі<2/м, n<g,
(3.61)
или же в матричной форме
136
уЦХ = мь+р?%,
м =
1 -т т2 . (~т)п
1 -(т-1) (т-1)2 . (-т-1)"
1 0 0 . 0
1 1 1 . 1
1 2 4 . 2”
1 т т2 '. тп
, Pi-m = \Pi-m-Pi+m\ ¦
(3.62)
Используя наблюдения (3.62), находят МНК-оценку (3 векто-
ра Ь:
Р = (МТМ)~1МТ у!+т
(3.63)
с помощью которой вычисляют сглаженное значение^, /-го уровня ряда Уі, соответствующего середине отрезка локального сглаживания [ti-m, ti+m\. В соответствии с моделями наблюдений (3.61), (3.62) при s = / принимают
Уі = Мт+іТР=Ро,
т
где Мт+1 — (т + 1)-я строка матрицы М, Зо — первый компонент вектора р. Из выражения (3.63) следует Ро = Q\ УІ-т> гДе Q|T — первая строка матрицы (М М)~1 МТ. Следовательно,
гр . IT гп
У і =Q\ Уі-m = 1 Qhi-m+l-кУк,
k-i-m
(3.64)
где Q]j— j-Pi элемент строки Q(T. Несложно рассчитать вектор весов (2іт при различных тип. Так, при п = 0 имеем М = = Г1 1... llt€R2m+,H
137
У і =
1 і+т
"ті , і 2 У к 9 2/и + І k=i-m
(3.65)
т.е. происходит простейшее усреднение элементов ряда на отрезке локального сглаживания. Этот алгоритм принято называть скользящим средним. При п = 1 находим
М =
1 -т 1 -(т-1)
1
т
, МТМ
2/я + 1 О
О
m і 2 s2
s=-m
Mry‘™ =
m
2 Л+5
s=-m
m
I V/+5
s=-m
И после вычисления Po приходим к тому же результату (3.65), т.е. скользящее среднее является алгоритмом локального сглаживания как для многочлена нулевого, так и первого порядка. Можно показать, что для многочленов второго и третьего порядков также будет общий алгоритм локального сглаживания и т.д. Приведенная далее машинная распечатка (рис. 3.1) процедуры вычисления весовых коэффициентов локального сглаживания для различных m и п позволяет в этом убедиться.
Нетрудно оценить эффективность локального сглаживания. Предварительно условимся под этим термином понимать отношение р дисперсий случайной составляющей /-го уровня ряда после сглаживания и до сглаживания. В результате сглаживания величина у/ преобразуется в у,- в соответствии с (3.65), случайная составляющая є, которой, что видно из (3.62), оказывается равной є, = Q[T р,^1. Дисперсия а? этой величины легко вычисляется: ст,2 = M{Qi Pi*? (Q\ Pi-m) } = o2Q\rQ\, где ст2 - дисперсия случайной составляющей исходного наблюдения yt. Следовательно, р = QjTQu и эффективность локального сглаживания, таким образом, просто оценивается. Так, например, при я = 2иЗит = 5 имеем GiT = [—0,086 0,343 0,486 0,343 —0,086] и, значит, р = 0,486. Аналогично для тех же п и m = 7 имеем Q\T — [—0,095 0,143 0,286
0,333 0,286 0,143 —0,095] и р = 0,333. Вообще следует иметь в ви-
138
исходные обозначения: 2m+1 - количество точек, участвующих в локальном сглаживании; п - порядок сглаживающего многочлена; z(n,m) - вектор весовых коэффициентов локального сглаживания
ORIGIN:=1
z(n,m):=
for jE1..n+1 for iE1..2*m+1
M1<-Q<1>
M1T
z(2,2)= (-0.086 0.343 0.486 0.343 -0.086)
z(2,3)= (-0.095 0.143 0.286 0.333 0.286 0.143 -0.095)
z(2,4)= (-0.091 0.061 0.169 0.234 0.255 0.234 0.169 0.061 - 0.091)
z(3,2)= (-0.086 0.343 0.486 0.343 - 0.086)
z(3,3)= (-0.095 0.143 0.286 0.333 0.086 0.143 -0.095)
z(3,4)= (-0.091 0.061 0.169 0.234 0.255 0.234 0.169 0.061 -0.091)
z(4,2)= (001 00)
z(4,3)= (0.022 -0.13 0.325 0.567 0.325 -0.13 0.022) z(4,4)= (0.035 -0.128 0.07 0.315 0.417 0.315 0.07 -0.128 0.035)
z(5,2) не существует, так как число п+1 оцениваемых параметров превышает количество 2т+1 используемых наблюдений и, как следствие, матрица М^ М является вырожденной
z(5,3)= ( 0.022 -0.13 0.325 0.567 0.325 -0.13 0.022) z(5,4)= (0.035 -0.128 0.07 0.315 0.417 0.315 0.07 -0.128 0.035) и так далее.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100