Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 42

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 73 >> Следующая

J= II/- X Скек Ц — ||/-?с|Г,где Е = [<?о <?1 - eql приведет к уже к=о
известному результату с = (ErE)~1Erf. С учетом ортогональности столбцов матрицы Е имеем ErE = diag [Ы2], к = 0, 1, ..., q, т.е. (ETE)~l = diag [|ЫГ2]. Так как ETf= [e^fe\f... eqTf]T, приходим к вычислительно более предпочтительным соотношениям (3.42). Таким образом, если модель временного ряда (3.1) имеет квазиде-терминированную структуру:
Уі = І ckek(tj) + ph i = l, N,
. k=0
то МНК-оценки параметров модели определятся соотношениями (3.42), (3.43), в которых вектор/и его компоненты следует заменить на вектор у = [уі, У2,..., умУ и его компоненты соответственно. Это же относится и к (3.44).
132
3.2.8. Ортогональные системы тригонометрических и полиномиальных дискретных функций
Рассмотрим теперь некоторые конкретные системы функций, ортогональных на дискретных множествах значений их аргументов. Начнем рассмотрение с тригонометрических функций. В п.
3.2.3 отмечалось, что тригонометрическая система общего вида 1, cos со/, sin со/, cos 2со/, sin 2со/, cos Зш/, sin Зсо/, ... является ортогональной в смысле пространства L2 на отрезке [—л/со, л/со]. Строго говоря, эта система является ортогональной на любом отрезке длительностью 2л/со.
Предположим теперь, что отрезок [0, 2л/со] точками /о, t\, ..., /# разбит на N непересекающихся участков длительностью 2тг/ш/У каждый. В этих точках, таким образом, /, = 2л//соА^, / = 0, 1,..., N. Рассмотрим свойства тригонометрической системы в N дискретных точках t\, t2,..., tN- При этом из всей бесконечной совокупности функций, формирующих тригонометрическую систему, ограничимся первыми ./V функциями, т.е. функциями 1, cos со/, sin со/, cos 2(й/, sin 2со/,..., cos N(ot/2 при ./Учетном и функциями 1, cos со/, sin со/, cos2co/, sin 2со/, ..., sin (N — 1)со//2 при N нечетном . В /-й точке /,- (/' = 1, 2, ..., АО эти функции принимают соответственно значения 1, cos 2ni/N, sin 2ni/N, ..., cos пі и 1, cos 2ni/N, sin 2ni/N, ..., sin (N — 1 )ni/N. Доказываются (например, [3]) важные для нас свойства этих функций:
0,0 <k*j<[N/2],
N/2, 0<k = j< N/2, (3.45)
N, k = j = 0 или N/2,
N
2 cos 2iyi/N cos 2лki / N ¦¦ /=1
N
2 cos 2jiji/Nsin 2лki/N=0, k, j = 0,1, ..., [7V/2], (3.46)
M ’
N
2 sin Inji/ N sin 2 nki/N = /=1
0, 0<j<[N/2\,
N/2, 0<k- j < N/2, (3.47)
0, k = j = 0 или N/2,
N
Zcos2nki/N=0, k = l, 2, ..., [N/2], (3.48)
/=1
Zsm2nki/N=0, k = l, 2, ..., [N/2], (3.49)
/=1
133
где [TV/2] = N/2, если ./Учетное, и [TV/2] = (TV — 1)/2 при нечетном N. Соотношения (3.46), (3.49) показывают: если N четное, то функции 1, cos 2ni/N, sin 2ni/N, cos 4ni/N, sin 4tu'/TV, ..., cos (TV — 2)ni/N, sin (TV — 2)ni/N, cos ni = (—1)' образуют ортогональную на дискретном множестве точек t\, tj, ..., /уу систему функций; при нечетном N таким свойством обладает система 1, cos 2ni/N, sin 2ni/N, cos 4тzi/N, sin 4ni/N, ..., cos (TV — \)ni/N, sin (N — 1 )ni/N. Эти функции не нормированы, а именно:
, N ,
||cos2nki/ TV || = ? (cos2nki/ TV) = TV / 2, 0<k<[N/2], (3.50) /=l
, N ,
|| sin 2nki / TV || = ? (sin 2nki / TV) = TV / 2, 0</t<[TV/2], (3.51) /=1
. PH2 = TV, (3.52)
||(-l)i|2 = TV. (3.53)
Имея в виду (3.50)—(3.53), легко построить соответствующие нормированные функции. Но независимо от нормировки эти функции в пространстве RN образуют базис (ортогональный или ортонормированный) и, следовательно, любая функция Д//), і — 1, 2, ..., TV, может быть единственным образом представлена разложением по этому базису подобным (3.36) образом: при четном TV
N/l-\ .
/(//•) = яо+ ? (bk cos 2пкі/ N +ск sin 2nki/ N) + bN/2(—1);, (3.54)
k=1
при нечетном TV
(ЛМ)/2
/(Г,) = й0+ h Фк cos 2nki/ N +ск sin 2пкі/ N), (3.55)
k=1
где по аналогии с (3.42)
а0 = -jr I /(/,), Ьк=^1 /(/,)cos 2яЛ/ / TV,
TV ,=i JV ,-=i
ск "2. f{ti)sin2nki/N, bN/2 = S Л//)(-1)''.
/=1 ' /V /=1
(3.56)
134
Эти функции применяют для математического представления тренда, содержащего периодические составляющие. Модель тренда формируют подобным (3.41) образом со всеми последующими выводами (3.42) — (3.44).
Вторым важным для эконометрических приложений классом функций являются ортогональные на множестве {/о, t\,..., /дг} многочлены. Обычно задача построения таких многочленов ставится так. На отрезке [а, Ь\ задана некоторая функция fit). Этот отрезок равноотстоящими точками ^ = a, t\, t2,..., tff = b разбивается на N непересекающихся участков, так что /,• = а + i(b — a)/N и, как следствие,
Требуется построить N + 1 многочленов Р0> Р} N(tj), ..., Рх Nitj) соответственно нулевого, первого и т.д. TV-го порядков, определенных И ортогональных на множестве {/(), th {n) и ПОЗВОЛЯЮЩИХ аналогично (3.36) представить
где сь — определяемые подобным (3.39) или (3.42) образом коэффициенты Фурье. Чтобы не быть привязанными к конкретным значениям величин /(), t\, ..., /дг, обычно ищут многочлены Р/с дг[/], к = О, 1, ..., N, ортогональные на целочисленном множестве {О, 1,..., N} значений их аргумента, а после того как такие многочлены найдены, при необходимости аргумент / в них заменяют на ti в соответствии с (3.57). Известны [15, 16] явные выражения для многочленов Рк дг[*]> к = О, I,N:
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100