Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 41

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 73 >> Следующая

Можно убедиться, что все введенные величины удовлетворяют соответствующим аксиомам.
Функции Д/;) и u(tj) будем называть ортогональными, если (Jltj), u(t,)) = 0, и ортонормированными, если, помимо условия ортогональности, выполняется нормировка ||Д/,)|| = ||«(/,)|| = 1. Обратим внимание на то, что все введенные определения подобны их аналогам из пространства Lj, но интегральные операции заменены конечными суммами. В выражении (3.29) скалярного произведения могут быть предусмотрены весовые коэффициенты, моделирующие функцию ц(0 в определении (3.9).
Систему функций {ek(ti)}4k = о, гДе ‘ = 1,2, ..., N, будем называть ортогональной на множестве {t\, t2, ..., //у} дискретных значений ее аргумента, если любые две функции е*(/,) и еу(/,) этой системы при кФ j ортогональны, и ортонормированной, если
где 5kj — дельта-символ Кронекера.
Все введенные понятия удобно переформулировать в терминах линейных конечномерных пространств. Действительно, некоторую функцию /(//), определенную на множестве дискретных
(3.30)
р(/(//), м(/,- ))=!/(//)- u(tj) ц= 7 (л/,-) - u(tj), т-чад) =
(3.31)
129
значений ее аргумента th і = 1, 2, N, можно отождествить с TV-мерным арифметическим вектором /, компоненты которого равны соответствующим значениям функции Д/,), т.е.
/Т = \Ah)Ah) -AtN) ] є R* (3.32)
Тогда в соответствии с обычными векторными операциями выразим
т, т) = (/>«) =/« = «Т/ (3-33)
ll/(^)ll=V(/./)=V7V, (3.34)
Р(/(*/), u(ti)) =11 / - и 11= л/(/ " «. / " «) = V(/ ~ «)Т(/ ~ “) • (3-35>
Пусть теперь {eyt(/,)}\ = ь /= 1, 2,..., N, — это УУлинейно независимых функций, определенных в N дискретных точках. Тогда N векторов е\, Є2,..., «дг, сформированных по принципу (3.32), также линейно независимы в пространстве R^ и, так как пространство R^— это TV-мерное, образуют в нем базис. Любую функцию Д/;), і = 1,2, ..., N, можно единственным образом представить в виде линейной комбинации этих функций:
/(';)= ХР*е*(/Д (3.36)
к=1
причем весовые коэффициенты разложения (координаты) однозначно находятся из системы линейных алгебраических уравнений •
/=1М*. <3-37)
*=1
являющейся совместной и определенной. Если ввести обозначения Е= lei Є2... epj\, 3 = [Pi 02 ••• Ыг, система (3.37) приобретает вид/= Е$, откуда следует ее решение
Р = Е~1/. (3.38)
Поиск этого решения существенно упрощается, если функции ekfJi), а следовательно, и векторы ортогональны (ортонор-мированы), т.е. e^ej = 0 при к Ф j. Такие функции, как уже отме-
130
чалось, линейно независимы и образуют ортогональный (орто-нормированный) базис. В этом случае достаточно обе части равенства (3.37) скалярно умножить на чтобы получить
(3/ = (ву,У) / \\ejl2 = е/f/ ejej (3.39)
при ортогональных векторах и
Ру = М> = е// (3.40)
при ортонормированных векторах. Последний результат непосредственно следует и из (3.38), так как в этом случае матрица Е оказывается ортогональной и для нее Е~х = Ет. Полученные выражения обладают явным вычислительным преимуществом перед общим результатом (3.38), не будучи связанными с трудоемкими операциями обращения матрицы. Обратим внимание на внешнее совпадение соотношений (3.39), (3.40) и ранее полученных определений коэффициентов Фурье (3.19), (3.20). Поэтому и величины (3.39), (3.40) обычно называют коэффициентами Фурье.
Возвратимся теперь к математической модели (3.1), (3.2) временного ряда. Предположим, что в качестве функций (f>k(tj) выбраны ортогональные (ортонормированные) функции ek(t(), к = 0, 1, ..., q. Модель тренда должна быть достаточно простой, чтобы работа с ней не порождала дополнительные трудности, но и не настолько элементарной, чтобы оказаться не адекватной изучаемому экономическому явлению. Поэтому соблюдается условие q + 1 < N. В этом случае система {ek(ti)}\ = о уже не может быть базисом в УУ-мерном пространстве R^, в силу чего произвольную функцию/^,), / = 0, 1,..., N, нельзя абсолютно точно задать разложением по этим функциям. Возможно приближение
/(',)= ? ckek{fi), / = 1,2, ..., N, или /= ? скек. (3.41) *=0 *=о
Как и в пространстве L2, коэффициенты разложения должны обеспечить условие
•HI/- ? c*<y2->min.
*=0 ск
Эта задача подобна рассмотренной ранее задаче (3.22), решается аналогичным образом и приводит к тому же результату:
131
i mek{ti)
ck = (/,«*)/\\ek ||2 = -^-, * = 0, 1, .... q, (3.42)
le2k(t')
/=1
при ортогональных функциях и
ск =(/>*)= Z f(ti)ek(tj), k = 0,l,...,q, (3.43)
/=1
при ортонормированных функциях. Точность приближения выражается подобным (3.25) образом:
minЦ/- І скек ЦЧ/112 - ? 4 \\ек И2. (3.44)
к=о Ый
Обратим внимание на одно важное обстоятельство, касающееся результатов (3.42), (3.43). По существу, используемая целевая функция J та же, что ранее использовалась нами в методе наименьших квадратов при поиске оценки параметров линейной регрессионной модели. Поэтому соотношения (3.42), (3.43) можно рассматривать как обычные МНК-оценки вектора с = [со ...с^]т, но полученные с учетом ортогональных свойств приближения
(3.41). Действительно, если использовать обычный аппарат метода наименьших квадратов, то минимизация целевой функции ч 7 7
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100