Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 40

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 73 >> Следующая

После сделанного замечания рассмотрим следующий пример. Пусть мы хотим функцию ДО = 1+ t, /є [0, 2], представить в виде
125
частичной суммы обобщенного ряда Фурье по многочленам Лежандра, ограничив приближение первыми тремя слагаемыми. В данном случае, таким образом, Є](т) = Pq(t) = 1, е2(ъ) = Р\(х) = т, <?з(т) = Р2(х) = Зт2/2 -1/2, причем тє[-1, 1], т.е. [о, b] = [0, 2], [с, d\ = [—1, 1]. Переопределим функции Лежандра так, чтобы они оказались ортогональными на отрезке [0, 2]. С этой целью выражаем т = I - 1 и получаем Pq (t) = \, Р\ (t) = t — 1, Р2 (t) = = 3^/2 — 3/ + 1. Теперь нам необходимо найти коэффициенты Фурье со, с\, с2, которые с наивысшей, как мы выяснили, точностью позволят представить ДО = cqPq (/) + С\Р\ (t) + с2Р2 (/). Эти коэффициенты находятся в соответствии с (3.19):
С/ = (ДО, Pi(t))/\\Pi(t)\t і = 0, 1, 2.
Имеем:
II/Ъ*(ОЦ2= J/Ь*2(0d/ = 2; II/>,*(/)II2 = }p,*2(r)d/ = 2/3;
О о
H?(0ll2=J/?2(0d/ = 2/5;
О
(/(О, /b*(0)2=I(l + 0d/ = 4; (/(/), /f(*))2=J(l + f)(f-l)d/ = 2/3;
О О
(/(О, ^2(О)2 = j(l+0(3f2/2-3f+l)d/=0
о
и, следовательно, со = 2, с i = 1, с2 — 0, что приводит к окончательному результату: ДО = со-Ро (0 + С\Р\ (0 = 1 + В этом простейшем случае, как видим, с помощью всего лишь двух слагаемых ряда Фурье удалось совершенно точно описать функцию ДО = = 1 + /, что, еще раз подчеркнем, объясняется простотой задачи. В общем случае такой «блестящий» результат не достигается, но при удачном выборе системы функций {е,(т)}^ = і и достаточно большом их количестве q можно сколь угодно близко к нему подойти.
Определение 3.18. Ортонормированная (ортогональная) система функций {е,(т)}7 = і называется замкнутой, если любую функциюДОє Ьг можно по норме этого пространства приблизить
126
с любой точностью линейными комбинациями конечного числа элементов этой системы.
Утверждение 3.3. Если система функций {е/(т)}“ = ! замкнута, то для любой функции Д/)єЬг неравенства Бесселя (3.26), (3.27) переходят в точные равенства соответственно
называемые равенствами Парсеваля.
Ограничим доказательство вторым из этих равенств, относящимся к ортонормированной системе функций. Из определения замкнутой системы следует, что при Ve > 0 Зд > 0 такое, что
так как при возрастании д сумма в (3.28) может только возрастать. Последнее эквивалентно второму из записанных равенств Парсеваля.
Утверждение 3.4. Если система функций {е,(т)}°/= j замкнута, то формальный ряд Фурье для любой функции ДОєЬг сходится по норме пространства к этой функции, т.е.
Действительно, в соответствии с (3.25) для ортонормирован-ных функций имеем
Так как при возрастании д правая часть последнего равенства стремится к нулю, приходим к данному утверждению.
и ло и2 =? с2 и в,-(о и2, н ло її2 =? с,2,
(3.28)
Но это эквивалентно условию
ton \Wm-icMOW =0.
Q->°\ /=І )
II АО-f с,є,(О II2 =11 ДО II2 -І
/=1
127
Существует еще одно очень важное свойство функциональных пространств, которое мы приведем без доказательства.
Утверждение 3.5. В пространстве Ьг всякая полная ортогональная (ортонормированная) система функций является замкнутой, и наоборот.
И вообще, в функциональных пространствах справедливы выводы: если ортогональная (ортонормированная) система функций {е,(т)}”= і является полной, то она оказывается замкнутой; с помощью линейной комбинации ее элементов с любой точностью можно представить произвольную функцию ДОє Lz; формальный ряд Фурье функции ДО сходится по норме к самой функции; выполняется равенство Парсеваля. Такая система является ортогональным (ортонормированным) базисом в пространстве Lq. Соответственно, если выполняется равенство Парсеваля, то такая система функций является базисом в пространстве L2, т.е. выполнение равенства Парсеваля эквивалентно сходимости формального ряда Фурье функции ДО к этой функции.
3.2.7. Ортогональные (ортонормированные) системы дискретных функций
При определении временного ряда было указано, что он формируется на основе наблюдений, проводимых в дискретные, как правило равноотстоящие, моменты времени /j, t2,/дг. Это в явном виде отражено в модели тренда (3.2). Изложенные же выше основы теории обобщенных рядов Фурье используют концепцию квадратично интегрируемых непрерывных функций с интегральным определением скалярного произведения, нормы, метрики и других основанных на этих понятиях характеристик. Поэтому непосредственно использовать полученные результаты для математического описания временных рядов принципиально невозможно. Однако можно построить системы функций, определенных на дискретных множествах значений их аргумента, которые обладают свойствами и характеристиками, подобными присущим квадратично интегрируемым функциям.
Итак, рассмотрим множество функций, определенных в точках t\, t2, ..., /jV- Условимся символом fit і), і = 1, 2, ..., N, обозначать некоторую из них. Величину
128
N
(At і), «(',)) = ? A‘iMti)
(3.29)
/=0
назовем скалярным произведением функций /(/,) и м(/,). Нормой функции Д/,) назовем число
Под расстоянием между функциями /(/,) и ы(/() условимся понимать величину
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100