Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 39

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 73 >> Следующая

где bj, і = 1, 2,..., q — некоторые неизвестные пока коэффициенты. Эти коэффициенты, очевидно, следует выбрать так, чтобы обеспечить наивысшую в некотором смысле точность приближения (часто говорят, аппроксимации) (3.21). Функцию
назовем ошибкой аппроксимации (3.21). Величину этой ошибки условимся характеризовать ее нормой или квадратом нормы ||є(0||2. Тогда коэффициенты bh /=1,2,..., q, следует выбрать в соответствии с условием
обеспечивающим наивысшую точность аппроксимации.
(3.21)
е(0 = /(/)-І V/(0
NOIlH /(')- ? V/(0, ЛО- І bkek(t)
-» min , (3.22) bj, 1=1, q
122
Утверждение 3.2. Величина ||є(0||2 достигает наименьшего значения, если в качестве коэффициентов b, принять коэффициенты Фурье Сі, т.е. положить bj = С(, і = 1, 2,..., q.
Для доказательства удобно ||є(/)||2 записать в развернутом виде
їїе(оїї2=(ло, т)-2їЬі(Ао,Єі«))+ї і шмо, ek(t))= .
/=1 /=1 к=1
(3.23)
=11/(0II2 -21 bi(f(t),ei(t))+ I ь} МОИ2.
/=1 /=1
Запишем необходимое условие минимума величины (3.23)
^-||е(0||2=-(/(0, «*<О) + М«*(ОИ2 = 0, * = 1, 2, ..., q, (3.24) dbk
откуда непосредственно следует
^ = (ДО, «*(011 / ІМ0ІІ2 = = 1?.
Так как V2||e(0||2 = 2Е > 0, т.е. матрица вторых производных V2||e(0||2 является положительно определенной, полученный результат действительно является решением задачи (3.22).
Итак, аппроксимация (3.21) оказывается наилучшей в смысле минимума нормы ошибки, если в качестве весовых коэффициентов bj использовать коэффициенты Фурье с,. В этом и проявляется свойство минимальности коэффициентов Фурье. Заметим, что система уравнений (3.24) приобрела простейший вид, при котором каждое из уравнений системы содержит лишь одну неизвестную величину благодаря ортогональности системы функций {е,(0}?= і- Если бы эти функции были неортогональными, система уравнений, полученная в соответствии с условием минимума величины (3.23), не распалась бы на q независимых уравнений, каждое из уравнений содержало бы все q неизвестных, и решение системы не свелось бы к коэффициентам Фурье. Найденное решение обладает еще одним замечательным качеством: если по каким-либо причинам количество слагаемых q в аппроксимирующей модели (3.21) оказалось недостаточным и его следует увеличить, то все коэффициенты не надо пересчитывать, а нужно вычислить лишь новые коэффициенты Ьк = ск, к = q + 1,
123
q + 2 и т.д., сохранив все предыдущие коэффициенты. Если бы использовалась неортогональная система функций, пришлось бы пересчитывать все коэффициенты.
Найдем минимальное значение величины (3.23) — min ||є(/)||2. С этой целью представим
їїе(оїї2=11/(012 -?«,(0)+??-(/«), е,чо)+ьik,(он2).
/=і »•=і
Эта величина в соответствии с доказанным будет минимальна, если выполняется (3.24) и bj = с,. Но тогда
min||є(0II2=||/(Oil2-?с,(/(0, «/(0) = 11/(0II2 Лс} ||е,(ОН2. (3.25) /=1 /=1
Так как min ||е(0||2 ^ 0, то из (3.25) следует
||до||ь?с,2|мои2 (з.2б)
«=1
при ортогональной системе функций {е,(0}^ = і и
||/(0||2^ ?с? (3.27)
/=1
при ортонормированной системе {е,(0}^ = і- Выражения (3.26),
(3.27) называют неравенствами Бесселя.
Рассмотрим состоящий из неотрицательных членов числовой °° 2 2
ряд Z с,- ||е,-(ОН • Так как в силу (3.26) частичные суммы этого ря-/=1
да Офаничены, то ряд сходится и, следовательно, справедливы общие результаты
|| /(/) ||2> ? с? || е,(/) ||2 /=і
при ортогональной системе функций {в;(0И = 1 и
HAOIlbiU?
1=1
124
при ортонормированной системе {е,-(0}^ = j. Как следствие, из сходимости ряда имеем С/2||е;(0||2 —» О при /—»«*> для ортогональной системы функций и с,-2 —» 0 при і —> оо для ортонормированной системы.
3.2.6. Сходимость обобщенных рядов Фурье
Прежде чем обсуждать проблему сходимости рядов Фурье, рассмотрим небольшой пример, не имеющий практической значимости, но иллюстрирующий технику представления (аппроксимации) некоторой функции Д/)еЬг частичной суммой обобщенного ряда Фурье. Прежде всего отметим, что функция ДО и используемая ортогональная (ортонормированная) система функций {ej(t)}9j= і могут быть определены на разных множествах. Чтобы воспользоваться изложенным аппаратом, их нужно «привести» к единому множеству определения. Это можно сделать, например, так.
Пусть функция ДО определена на отрезке [а, Ь\, т.е. /є [а, Ь\, а система функций {е,(х)}?,- = і ортогональна на отрезке [с, d\, т.е. те [с, d\. В качестве аргумента системы функций записана переменная х именно для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что переменные t их принадлежат разным множествам. Чтобы привести их к единому множеству, представим
t = a + X(b — а),т = с + X(d — с), Хе [0, 1].
Выразив X, например, из первого соотношения и подставив во второе, найдем х = с + (t — a)(d — c)/(b — а). Если теперь в составе функций {ej(x)}9j = і аргумент х заменить в соответствии с последним выражением, получим систему функций {Єі (0И = 1, ортогональную на множестве [а, Ь], на котором определена и функция ДО. Если же подобным образом выразить t = а + + (х — c)(b — a)/(d — с) и это значение подставить в выражение функции ДО, получим новую функцию /(х), определенную на [с, d\, на котором ортогональна исходная система функций (ф(т)}^= і - Оба приема, разумеется, эквивалентны в смысле получения одного и того же результата и позволяют после такой замены аргументов воспользоваться изложенными результатами.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100