Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 38

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 73 >> Следующая

і 7}(/)7\(/) (Ti(t), Tj(t))=j ' J dt--
-і Vi-/
o, i*j, n ¦ ¦ ,
-J, г = У^1,
я, i = j = 0.
Ортогональные многочлены Чебышева, таким образом, имеют вид:
j-nm, Дг,(о, gw, ......................
4. Многочлены Чебышева второго рода Un(t) задаются рекуррентным соотношением
Un+l(t) = 2tUn(t) -Un_ i(t), n = 1, 2, 3,...
118
при начальных условиях Щ{і) — 1, U\(t) = 2t. Эти многочлены ортогональны на отрезке [—1, 1] с весом ц(0 = л/і-*2, при этом
О, / * У,
Ортонормированная система имеет вид
^„«), ^,<0, &>(»...................
5. Многочлены Лежандра Pn(t), вычисляемые по правилу
Pn+l(0 = ^-tPn(t)--^7P„-i(0, п = 1, 2, 3, ... п + 1 Л -ы
при начальных условиях Pq(0 = 1, Pj(/) = /. Многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [—1, 1] с весом |л(/) = 1, причем
О, / * j,
2 . .
что позволяет построить ортонормированную систему многочленов Лежандра:
^o(o, jfm ^р2(о, ^т,....
В прикладных задачах находят применение и другие системы функций: многочлены Эрмита, многочлены Лагерра, функции Радемахера, функции Хаара, функции Уолша и др. Заметим, что все перечисленные системы функций, исключая функции Радемахера, являются полными.
(РАО, Р;(0)= 1 PAOP/Odt = -1
119
3.2.4. Обобщенные ряды Фурье
Напомним, что в я-мерном конечномерном линейном пространстве (т.е. в пространстве, где максимальное число линейно независимых векторов равняется п, а любые п + 1, п + 2 и т.д. векторов линейно зависимы) можно любой элемент этого пространства единственным образом представить в виде линейной комбинации линейно независимых векторов. Если {е,}"= і — система линейно независимых векторов их — произвольный вектор из этого пространства, то, таким образом, справедливо равенство
x='Zcieh (3.14)
i=1
известное как разложение по базису. Если векторы е„ і = 1, 2,..., п, взаимно ортогональны, коэффициенты разложения с,-, обычно называемые координатами вектора х в базисе {«,-}" = ь определяются соотношениями
с,- = (х, <?/)/М2, і = 1, 2,..., п. (3.15)
Возвратимся теперь к функциональному пространству Как уже отмечалось, в этом пространстве существует неограниченное число линейно независимых элементов. Пусть {e^t)}°°j= j — одна из таких систем. Пусть, далее, fit) — некоторая функция из L2. Тогда становится логичной мысль о возможности представить функцию/(/) подобным (3.14) образом, т.е. в виде
fit)~ ?с,е,.(/), (3.16)
/=1
где с, — некоторые весовые коэффициенты.
Здесь, в отличие от (3.14), знак равенства заменен символом соответствия ~ по той причине, что не оговорено, в каком смысле понимается соответствие между функцией f{t) и стоящим справа рядом. Представляется вполне естественным знак соответствия заменить знаком равенства, если правый ряд в каком-то смысле сходится к функции/?/).
Пусть S„(t) — п-я частичная сумма ряда из (3.16), т.е.
S„{t) = I с,е,(г).
/=1
120
Будем говорить, ЧТО ряд Е Cfiiit) сходится по норме к функции ДО, если '=1
lim||J„(0-/(0ll2 = 0. (3.17)
И—)<=о
В случае выполнения (3.17) будем писать
Я0=?с/«/<0 (3.18)
i=i
и говорить, что функция ДО задана разложением по системе функций {е,-(0}7= і- Если выполняется (3.18), несложно определить соответствующие этому равенству коэффициенты с„ / = 1,2, ... . Для этого обе части (3.18) умножим скалярно на е*(0, воспользуемся свойствами скалярного произведения, справедливыми и в случае ряда, и учтем ортогональность функций е*(0 и е,(0 при іФк. В результате получим подобное (3.15) выражение
ск = (ДО, еА(0)/1Ы0||2, к = 1, 2,..., (3.19)
или
С* = (ДО, ek(t)),k = 1, 2,..., (3.20)
если система функций {ef(0}7= і ортонормирована. Коэффициенты (3.19), (3.20) называют коэффициентами Фурье.
Итак, предположим, что выполняется (3.17), хотя пока мы и не знаем, при каких условиях это выполняется. В этом случае, по нашей договоренности, справедливо соотношение (3.18).
Определение 3.17. Пусть {е,-(0}7= і — некоторая система ортогональных (ортонормированных) функций из hi и f(t)e L2. Пусть,
далее, выполняется (3.17). Тогда ряд Ес/вДО, где с„/= 1, 2,..., -
/=1
коэффициенты Фурье (3.19), (3.20), называется обобщенным рядом Фурье функции/(0 по системе функций {е/(0П= 1 и используется запись (3.18).
В этом случае будем говорить, что функция ДО представлена обобщенным рядом Фурье ПО системе функций {Єі(()}Г = 1- Если
же ДЛЯ некоторой функциидоє Iq построен ряд Е с коэф
/=1
фициентами Фурье (3.19) или (3.20), но не доказана сходимость
121
ряда к функции ДО или выявлено, что ряд сходится, но не к функции Д/), то такой ряд принято называть формальным рядом Фурье функции Д/) и использовать запись (3.16).
Если некоторая система функций (е/(/)} “• = і обеспечивает равенство (3.18) для любой функции ДО из L^, то такую систему функций называют ортогональным (ортонормированным) базисом пространства hi.
3.2.5. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
Использование обобщенного ряда Фурье как математической модели некоторого процесса ДОєЬг при решении практических задач часто приводит к избыточно громоздким результатам. Поэтому стараются ограничиться приближенными моделями, менее точными, но позволяющими получить вполне реализуемые соотношения при обработке временных рядов. Подобная модель может быть получена, если использовать частичную сумму ряда по некоторой системе ортогональных (ортонормированных) функций {е,-(0П= 1- В этом случае, таким образом, приближенно представляем
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100