Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 37

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 73 >> Следующая

Определим на множестве квадратично интегрируемых функций следующую интегральную операцию над некоторыми функциями/^) и u(t)\
где ц(0 - произвольная положительная интегрируемая функция.
Несложно убедиться, что выражение (3.9) удовлетворяет всем четырем аксиомам скалярного произведения и, следовательно, является скалярным произведением в линейном пространстве квадратично интегрируемых функций.
Определение 3.12. Линейное функциональное пространство, состоящее из квадратично интегрируемых на [^, t2\ функций, со скалярным произведением (3.9) называется пространством L2.
Норма и метрика в этом пространстве определяются соответственно выражениями:
h
(АО, и(0) = I ц(0/(0ы(0&,
(3.9)

(3.10)
(3.11)
114
В евклидовом пространстве, как известно, выполняются неравенства Коши—Буняковского и треугольника (Минковского), имеющие в общем случае соответственно вид:
т,иц)?<т,м)ш,ит ЦД0 + м(0И11Д0Н + 1И01|.
В пространстве Ьгэти неравенства таковы:
12
^ \ Ц(0/(02<И \i(t)u(t)2dt, (3.12)
JH(0(f(0 + u(t))2dt< J\x(t)f(t)2dt +\]\x(t)u(t)2dt. (3.13)
Доказывается (например, [14]), что пространство Ьі является полным, т.е. представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением (3.9). Во многих случаях принимается ц(ґ) = 1, и тогда приведенные соотношения упрощаются.
Сходимость последовательности функций {fn{t)rn=xc.h2 к функции/(/)е L<2 понимается в смысле равенства
lim j \i(t)(fn(t) - f(t))2dt = О,
и в этом случае говорят, что последовательность функций {f„(t)}°°n=i сходится к функцииДО в среднеквадратическом смысле.
3.2.3. Ортогональные и ортонормированные системы функций
Рассмотрим некоторую систему функций {fn{t)Y°n = 1 cL/2, /є [?!, tj], у которой ни одна из функций тождественно не обращается в нуль на [t\, t2\.
Определение 3.13. Система функций {fn{t)Y^= \ называется линейно независимой на отрезке [/j, t2\, если любая конечная сово-
115
купность ЭТИХ функций/щ (t),fa2 (0, ...,/ол(0 является линейно независимой при всех t&[t\, t2\, т.е. равенство ХР,/а(.(0 = 0 возможно лишь тогда, когда все Р, = 0. '
Отметим, что в функциональных пространствах в общем случае можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых функций. Поэтому такие пространства (в том числе и Li) называют бесконечномерными.
Определение 3.14. Система функций {/5,(0}“ = і называется ор-тогонсихъной на отрезке [t\, t2], если любые две функции )
(г Ф j) из этой системы обладают свойством: (fi(t),fj(t)) = 0. Сами функции в этом случае также называются ортогональными.
Определение 3.15. Система функций = [ называется ор-
тонормированной на отрезке [t\, t2\, если любые две функции fj(t) из этой системы ортогональны и каждая из них имеет единичную норму, т.е.
В этом случае говорят, что сама функция нормирована. Ортогональную систему функций легко превратить в орто-нормированную путем перехода к функциям f-t (f) = /Х0Ж(0ІІ, /=1,2,.... Ортогональная система функций является линейно независимой. Действительно, рассмотрим равенство ХР(7/(0 = 0-
Умножив обе его части скалярно на функциюЛ(0, с учетом ортогональности получим Р*|4(/)|Р — 0 => (З* = 0, т.е. линейная комбинация ортогональных функций обращается в нуль только при равных нулю весовых коэффициентах, что является признаком линейной независимости. Опять же, любую линейно независимую систему функций с помощью специальной операции ортого-нализации можно превратить в ортогональную или в ортонорми-рованную.
Определение 3.16. Ортогональная (ортонормированная) система функций называется полной в L2, если в этом пространстве нет ни одной функции, кроме нулевой, которая была бы ортогональна ко всем функциям данной системы.
Доказывается, что в пространстве 1^ существуют полные ортогональные системы функций. Приведем ряд таких систем, характерных для приложений.
116
1. Основная тригонометрическая система функций
1, cost, sin/, cos 2/, sin It, cos 3/, sin 3/,....
Система является ортогональной на отрезке [—л, я]. Действительно, пусть / * j. Тогда при ц(/) = 1
Я | Я '
(cosit, cosjt) = J cos// cosy/ d/ = — J (cos(/-y)/+cos(/ + y))d/ = 0,
— IT ^ —-rr
Я J Я
(sin //, sin у/) = J sin /ґ sin у/ dt = — J (cos(/ - У)ґ - cos(/ + j))dt = 0,
ТГ ** _TT
я 1 я
(cos it, sin yY) = / cos it sin jt dt = — J (sin(/ + j)t - sin(/ - j)t)dt = 0,
-Я ^ -Я
я
(1, cos #)= J cos/Yd/= 0,

я
(1, sin//)= / sin//d/ = 0.

Система не нормирована, так как
cos it ||= J j (cos it)2 At = -Jn,
I sin it ||= J S (sin it)2 dt = л/я.
Ортонормированная основная тригонометрическая система имеет вид:
2. Тригонометрическая система общего вида
1, cos со/, sin <x>t, cos 2a>t, sin 2Ш, cos Зсоґ, sin Зсо/,...
Система ортогональна на отрезке
Т_ Т_ 2 ’ 2
, где Дока-
зательство аналогично предьщущему. Ортонормированная тригонометрическая система общего вида такова:
-jjp -j^sin со/, ^cos2co/, sin 2со/,
^cos3co/, ^sin Зсо t, ... .
3. Многочлены Чебышева первого рода Tn(t)
Эти многочлены задаются рекуррентным правилом Tn+l(t) = 2tT„(t) -Тп_ і(0) «=1,2, 3, ...
при начальных условиях 7q(/) = 1, T\(t) = t. Они являются ортогональными на отрезке [—1, 1] с весом n(t) = l/^jl-t2, причем
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100