Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 36

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 73 >> Следующая

Для функциональных пространств одной из фундаментальных является проблема сходимости последовательности элементов этого пространства.
Определение 3.6. Пусть {/„(/)}“„ = і — последовательность функций из метрического пространства 3. Если для Ve > 0 3N(e) > 0 такое, что при всех п > Довыполняется р(/"„(/), ДО) < є, гдеf(t)e3, то говорят, что последовательность {fn(t)}°°n = і в метрике пространства 3 сходится к функции Д/)є 3.
Другими словами, последовательность функций сходится в метрике пространства 3 к функции ДО из этого пространства, если Итр(/Й(/), ДО) = 0 при и —> оо. Это означает, что с ростом п «расстояние» между элементами последовательности
111
{/„(/)} и функцией Д/) становится сколь угодно малым. Если не возникает недоразумений, то в подобных случаях пишут: /«(О -»Л0 при п -> с».
Если пространство нормировано и метрика порождена нормой, то в случае lim || /„(/)- f(t)||= 0 говорят, что последователь-
П—>оо
ность {/"„(/)} по норме сходится к/(/). В последующем, как правило, именно в этом смысле будем понимать сходимость.
Определение 3.7. Последовательность функций \fn(t)}°°,, = 1 из метрического пространства 3 называют последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью, если для Ve > 0 3N(e) > 0 такое, что для всех т,п> N(e) выполняется неравенство р< 8.
У фундаментальной последовательности, таким образом, «расстояние» между ее элементами при достаточно больших номерах элементов становится сколь угодно малым.
Утверждение 3.1. Если некоторая последовательность {/й(0Гл=1 сД ГДе 3 — метрическое пространство, сходится к функции J[t)e 3, то эта последовательность является фундаментальной.
Действительно, пусть последовательность {fn(t)}°°n=\<z3 сходится к функции Д/)є Я. Это значит, что при Ve > 0 ЗЛ'(є) > 0 такое, что при п > ./V справедливо неравенство p(fn(t),A()) < е- Так как в соответствии с одной из аксиом метрики p(f„(t), fm(t)) < p(fn(t), ДО) + Р(Я0,//и(0), ТО при п,т-*оо выполняется неравенство рfn(t)) < 2є, т.е. при достаточно больших п, т «расстояние» между любыми двумя элементами сходящейся последовательности становится сколь угодно малым. Но в соответствии с определением 3.7 последовательность {/й(0}~=i тогда является фундаментальной.
Сходящаяся последовательность, таким образом, всегда фундаментальная. Но фундаментальная последовательность функций, в отличие от числовой последовательности, оказывается не всегда сходящаяся. В некоторых метрических пространствах удается построить такие последовательности Коши, которые не сходятся ни к какой функции из этого пространства. Вместе с тем существуют и пространства, в которых фундаментальные последовательности оказываются сходящимися, причем сходящимися
112
именно к какому-либо элементу этого же пространства. Такие пространства принято выделять в самостоятельный класс.
Определение 3.8. Если в метрическом пространстве 3 любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого же пространства, то пространство 3 называется полным.
Определение 3.9. Нормированное линейное пространство, полное относительно метрики p(u(t), v(t)) = ||и(/) — v(/)||, порожденной его нормой, называется банаховым пространством.
Определение 3.10. Линейное функциональное пространство 3 со скалярным произведением (u(t), v(/)) называется гильбертовым, если оно полно относительно нормы, порожденной его скалярным произведением.
Таким образом, если в нормированном пространстве «расстояние» между функциями определено через норму пространства и любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится по норме к элементу этого пространства, то такое нормированное пространство принято называть банаховым. Если дополнительно функциональное пространство является евклидовым, норма в нем выражена через скалярное произведение и любая фундаментальная последовательность по этой норме сходится к некоторому элементу этого пространства, то такое евклидово пространство называют гильбертовым.
3.2.2. Пространство 1^
Абстрактные функциональные пространства в эконометрических приложениях не находят широкого применения. Обычно используют множества с конкретным заданием скалярного произведения, нормы и метрики. Распространенным множеством такого вида является пространство Lj.
Определение 3.11. Функция ft) называется функцией с интегрируемым квадратом, или квадратично интегрируемой на отрезке [th t2], если
h ,
f/2(0d/<°°, (3.8)
h
т.е. интеграл существует и конечен.
113
Квадратично интегрируемые функции обладают рядом полезных для последующего свойств. В частности:
1) квадратично интегрируемая функция является интегрируемой;
2) произведение двух квадратично интегрируемых функций является интегрируемой функцией;
3) сумма двух квадратично интегрируемых функций является квадратично интегрируемой функцией;
4) если ДО квадратично интегрируема, то и АДО квадратично интегрируема, где Хе R.
Таким образом, линейная комбинация квадратично интегрируемых функций является квадратично интегрируемой, а это значит, что множество квадратично интегрируемых функций образует линейное пространство.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100