Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 35

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 73 >> Следующая

108
Ответим прежде всего на последний вопрос. С использованием рядов могут решаться различные прикладные задачи. Приоритетной из них мы будем считать следующую: временной ряд используется ДЛЯ ТОГО, чтобы ПО имеющимся наблюдениям Уі,
і = 1, 2, ..., N, спрогнозировать будущее значение ряда для какого-либо момента tm > tN, т.е. найти оценку Ym = Y(tm) =Ym(y\, уг, ..., ун) будущего значения ряда как функцию имеющихся в нашем распоряжении наблюденийУ\,У2, •••, Уи- Такую задачу принято называть задачей прогнозирования (предсказания, экстраполяции) временного ряда. Ответы на остальные вопросы, так же как и на вопрос о том, как найти «хорошую» в каком-то смысле оценку Ym, будем искать в процессе последующего изложения материала.
В заключение обратим внимание на внешнее сходство модели (3.1), (3.4) временного ряда и рассмотренных в первой части пособия регрессионных моделей. По существу они отличаются только физической содержательностью. Если время / в (3.1) интерпретировать как экзогенную переменную, а значения ряда как значения эндогенной переменной, то формально модели окажутся эквивалентными. Это позволяет в теорию временных рядов привнести многое из регрессионного анализа, расмотренного ранее. По этой же причине структурно детерминированные модели временных рядов иногда называют регрессионными.
3.2. Ортонормированные системы функций
3.2.1. Банаховы и гильбертовы пространства
Как уже было отмечено, при разработке математической модели временного ряда большое внимание должно быть уделено свойствам функций ф*(0, к = О, 1, ..., q, используемых для описания детерминированной составляющей (3.2) временного ряда. Удачный выбор этих функций существенно определяет вычислительную простоту и точность решения задачи. Хотя универсальных и общепринятых рекомендаций по выбору этих функций нет, можно указать класс функций, во многих задачах оказывающихся предпочтительными. Этот класс составляют ортогональные и ортонормированные системы функций. Дадим соответствующие определения. При этом будем ориентироваться на основные понятия конечномерных линейных пространств, изложенные, на-
109
пример, в [14], и опустим соответствующие пространные комментарии.
Определение 3.1. Множество 3, элементами которого являются вещественные функции (для определенности, времени О или временные последовательности с установленными соотношениями между элементами, будем называть вещественным функциональным пространством.
Определение 3.2. Функциональное пространство 3 называют линейным, если для любых двух элементов u(t) и v(0 из этого пространства (т.е. u(t), у(/)є Л) и любых чисел Я-1, Я-2 gR линейная комбинация z(t) = Aiu(t) + v(t) также принадлежит множеству 3.
В этом определении операции умножения функций на число и сложения функций понимаются в обычном алгебраическом смысле (в этом же смысле указанные операции понимаются и далее).
Определение 3.3. Линейное функциональное пространство 3 называется нормированным, если существует правило, ставящее в соответствие каждому элементу Д/)е 3 вещественное число, называемое нормой (или длиной) функции J{t), символически обозначаемое ||Д/)|| и удовлетворяющее трем аксиомам нормы конечномерных линейных пространств [14]:
1.11Д0ІІ > 0 при At) * 0 и ІІД0ІІ = О At) = 0;
2. ||V(0II = W ЦД0ІІ при УХе R;
3. ІДО + у(0ІІ ^ ІІА0ІІ + IW0II, при vy(t),At)z3.
Определение 3.4. Функциональное пространство 3 называется метрическим, если существует правило, ставящее в соответствие любым двум функциям u(t) и v(/) из 3 неотрицательное вещественное число, называемое метрикой (расстоянием) пространства 3, символически обозначаемое р(u(t), v(t)) и удовлетворяющее трем аксиомам метрики конечномерных линейных пространств [14]:
1. р(u(t), v(t)) = 0<=>и(0 = v(0;
2. p(u(t), v(t)) = p(v(0, u(t));
3. p(u(t), v(t)) < p(u(t), z(t)) + p(z(t), v(t)).
Определение 3.5. Линейное функциональное пространство З называется евклидовым (или пространством со скалярным произ-
110
ведением), если существует правило, ставящее в соответствие любым двум функциям u(t) и v(/) из 3 вещественное число, называемое скалярным произведением функций u(t) и v(0, символически обозначаемое (u(t), v(0) и удовлетворяющее четырем аксиомам скалярных произведений конечномерных линейных пространств [14]:
1. («(/), v(/)) = (v(/), «(/));
2. (u(t) + z(t), v(/)) = («(/), v(0) + (z(t), v(0);
3. (Xu(t), v(0) = X (u(t), v(0) при VXe R;
4. u(t)) > 0 при u(t) Ф 0 и (u(t), u(t)) = 0<^u(t) = 0.
Если в линейном функциональном пространстве определено скалярное произведение, то обычно принимают:
ило и= V(/(o, ло), (3.6)
р(и(0, v(0) HI“(t) - v(t) 11= ^(u(t)-v(t), u(t)-v(t)) (3.7)
и в зависимости от способа определения скалярного произведения получают те или иные норму и метрику. В таком случае говорят, что норма (метрика) порождена скалярным произведением. Заметим, что если отвлечься от математической аккуратности мышления, то норму можно интерпретировать как своеобразную меру «величины» функции и указать, какая функция по норме больше, а какая меньше. С аналогичной степенью строгости метрику можно рассматривать как «расстояние» между двумя функциями.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100