Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 32

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 73 >> Следующая

/ = J J 0Т(0 - 0)v(y,0)d0dy -J J 0Т(0 - 0)v(y,0)d0dy =
уВ уВ
= / 0Тсоу(у)\ (0 - 0)ц(01 jOd0dj> - J J 0T0v(j',0)d0dj' +
у в уВ
+j 0T0j v(>\0)dyd0. в у
В силу необходимого условия минимума первое слагаемое в правой части этого выражения обращается в нуль и после несложных преобразований получаем
min/ = J 0T0we(0)d0- J J 0тц(01 y)d00co>,(>')d^ = e >e
= J 0T0coe(0)d0- J 0Teo)j,(y)dy.
в у
Полезно обратить внимание на структуру полученного выражения. Первое слагаемое в нем определяет ту часть средних потерь, которая обусловлена априорными сведениями об оцениваемых параметрах. Второе слагаемое (вычитаемое) показывает, насколько уменьшаются средние потери в связи с проведенной
операцией оценивания. Так как 0Т0 = Е©?. после усреднения
/
в первом слагаемом по 0 выражение для минимального риска можно представить так:
99
min J = Sp Kq + ntQ/ttQ - j Втв(Л)у(у)йу, (2.86)
у
где Kq, ntQ - ковариационная матрица и математическое ожидание вектора 0 соответственно.
Аналогичным образом можно представить и второе слагаемое.
Рассмотрим теперь частный случай задачи, позволяющий на основании (2.85) получить алгоритм оценивания как явную функцию от экспериментальных данных у. Этот случай охватывает линейную модель (2.4) при гауссовских некоррелированных векторах 0 и е, т.е., как и ранее, принимается 0 ~ N(ntQ, Kq), є ~ N(0, Ке). Необходимая для оценивания апостериорная плотность ц(© |у) находится в соответствии с (2.77). Запишем в явном виде формирующие ее функции:
Общий показатель экспоненты, образующийся после подстановки этих функций в (2.77), представим в удобной для последующего интегрирования форме
Величины q, G, D находим из условия тождественного выполнения последнего соотношения
q = meT Kq1 me + / Kfxy - GTDG, D = 'FTA(r1'F + Kq~\
G = D~\Kq~1 me + V).
Подставив с использованием этих преобразований функцию (2.77) в (2.85), получим
0 = J 0ехр {-0,5(0 - G)T D(B - G)}d0 / f exp {-0,5(0 - G)T Z>(0 - G)}d0.
(0 - me)T *e-1(0 - «є) + (У - Y0)TAe-1(y - Y0) = = q + (0 - G)TZ)(0 - G).
Дальнейшее многомерное интегрирование осуществляется следующим образом (например,[29]). Так как матрица D симметрическая, существует ортогональная матрица R, диагонализиру-ющая матрицу D, т.е. обладающая свойствами RTR = Е, RTDR — = S = diag [5(], /=1,2,..., т + 1, где S — диагональная матрица из собственных чисел Sj матрицы D. Исходя из существования такой матрицы, введем новую переменную Q, которая с вектором 0 связана соотношением 0 — G — RQ => d0 = \R\ dQ. Так как R — ортогональная матрица, можем положить |Л| = 1, т.е. d0 = dQ. В результате выражение для оценки 0 принимает вид
ОО оо
S = G-R \ вехр {-0,5QTSQ}d<2/ J exp {-0,5QTSQ}dQ.
W+1
T лТ ^
Пусть Q = [q\ q2 ... qm+ il • Тогда Q SQ= 2 ед и многомер-
/=і
ный интеграл в числителе оценки 0 в развернутом виде оказывается таков:
оо оо оо
/ I-/
—оо —оо —оо
Я\
42
Чт+\
m+1 2
exp j-0,5 2 Srfj \dqidq2...dqm+i.
Так как в силу нечетности подынтегральной функции
оо
J qie\p{-0,5sJqj}dqj =0, j = 1, 2 ..., m + 1,
—оо
то второе слагаемое в выражении для 0 обращается в нуль и окончательно получаем
ё = С = ГГ1С?гКС1У + Кв~1 те)
(2.87)
Оптимальная байесовская оценка, таким образом, при линейной гауссовской модели экспериментальных данных и квадратичной функции стоимости оказывается линейной относительно вектора наблюдений у. Линейность проявляется именно при этих условиях. Если же модель экспериментальных данных окажется нелинейной относительно вектора параметров 0 или
101
хотя бы один из векторов 0, е будет негауссовским, байесовский алгоритм становится нелинейным.
Легко видеть, что байесовский алгоритм (2.87) полностью совпадает с оценкой (2.79), оптимальной по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей. И это не случайно. Гауссовская апостериорная плотность вероятностей вектора 0 достигает наибольшего значения в точке, являющейся апостериорным средним этого вектора. Но и байесовская оценка (2.85) представляет собой апостериорное среднее. Этим и объясняется совпадение обеих оценок. Подобное совпадение обнаруживается при всех унимодальных и симметричных относительно моды апостериорных плотностях вероятностей. Следствием совпадения оценок (2.79), (2.87) оказывается совпадение и их свойств: байесовская оценка (2.87) является несмещенной и имеет ковариационную матрицу ошибки (2.81). Минимальное значение min У байесовского риска (2.82) в данном случае находится достаточно просто. По определению min У = М{|| 0 — 0||2} = = М{(в - 0)т(0 — 0)}, где 0 — байесовская оценка (2.87). С другой стороны, из (2.81) для этой же оценки имеем Л/{(0 — 0)(0 —
- 0)т} = D~l. Но Л/{(0 - в)т_(в - в)} = Sp М{(в - 0)(0 - 0П и, следовательно, min У = Sp D .
Следует отметить, что байесовский подход является наиболее универсальным средством оценивания. Можно показать, например, что максимально правдоподобные оценки соответствуют минимуму так называемого условного байесовского риска (см. далее) при простой функции потерь. Оценки, соответствующие максимуму апостериорной плотности вероятностей, могут быть получены из условия минимума среднего (безусловного) риска (2.82) также при простой функции потерь.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100