Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 31

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 73 >> Следующая

95
2.6. Байесовские оценки регрессионных параметров
Среди большого числа методов, рекомендуемых современной теорией статистических решений для поиска оценок параметров, наиболее универсальным является байесовский метод. Условия его применимости те же, что и в методе максимума апостериорной плотности вероятностей: задана модель экспериментальных данных, векторы регрессионных параметров 0 и экспериментальных ошибок є классифицируются как случайные, известна соответствующая априорная информация в объеме плотностей вероятностей сов(0), соЕ(е). Содержательное существо метода заключается в следующем.
Использование любого метода оценивания сопровождается ошибкой Т]0>, 0) =8(у) — 0, которая зависит от конкретной реализации экспериментальных данных у, будучи при одних реализациях малой, при других — большой. Естественным является стремление с большими ошибками встречаться как можно реже. Это намерение можно попытаться реализовать, если процедуру оценивания «наказывать» за большие ошибки. С этой целью в рассмотрение вводят некоторую функцию С(0,0), которая, как правило, зависит от ошибки Т](у, 0) и называется функцией стоимости, или функцией потерь. Выбор этой функции в значительной степени субъективен. Однако структура С(тіО>, 0)) обычно такова, что функция возрастает (или, по крайней мере, не убывает) с ростом любого компонента аргумента и достигает наименьшего значения при Т|Ск, 0) = 0. Такой характер функции обеспечивает возрастающую стоимость больших ошибок оценивания, за которые система должна подвергаться «наказанию». Среди функций с указанным свойством наиболее часто применяющимися оказываются следующие.
Функция потерь, зависящая от модулей ошибок,
т „
С(л)= S|©,-0,|-/=о
Квадратичная функция потерь
т ~ 1 ~ 1 С(гі)=Е(0г-0г)2 =11 в-01|2.
1=0
96
Прямоугольная функция потерь
с/ =
где А — некоторая константа.
Находит применение и простая функция потерь
С(л) = с- 15(0,-©,),
т
где с > 0 — константа, 5(0, — 0/) — дельта-функция Дирака.
Функция стоимости является неслучайной функцией случайного аргумента г\ и на множестве значений аргумента принимает случайные значения. Среднее значение функции стоимости, полученное усреднением ее по всем возможным значениям векторов 0 и у, называют средними потерями или средним риском (байесовским риском):
где v(y, 0) — совместная плотность вероятностей векторов у и 0.
Индексы у интегралов символически отражают тот факт, что интегрирование ведется по всем пространствам существования векторов .у и 0. Так как ошибка оценивания г\(у, 0) = В (у) — 0 зависит от оценки 0, т.е. от способа оценивания, то и средний байесовский риск зависит от алгоритма оценивания. Очевидно, можно допустить существование такого алгоритма, при котором средние потери окажутся наименьшими по сравнению с потерями, сопутствующими другим алгоритмам.
Определение 2.19. Функция В(у) экспериментальных данных, при которой средние потери достигают минимума, называется оптимальной по Байесу оценкой, или байесовской оценкой регрессионных параметров.
Таким образом, байесовская оценка определяется условием
то сформулированная оптимизационная задача примет вид
J = \\ C(t|(j>,e))v(y,e)dedy,
(2.82)
ЄОО = argmin/.
е
Если воспользоваться представлением v(j>, 0) = со^О>)|и(0 \у)9
97
J = 1 J С(г|(.у,0))ц(0 I jOdOJdy -»min. (2.83)
V e *(y)
Так как плотность вероятностей соУ(у) неотрицательна, то условие (2.83) выполняется, если минимального значения достигает внутренний интеграл в (2.83) при любом значении вектора у, т.е.
1С (ті(у,0))ц(01 jOde -> min. (2.84)
е в(у)
Последующее решение задачи (2.84) требует конкретизации функции стоимости. В настоящее время из всех вышеприведенных функций наибольшее распространение в прикладных задачах получила квадратичная функция стоимости. Это обусловлено относительной простотой математического аппарата, сопровождающего связанные с этой функцией преобразования, и хорошим соответствием функции требованиям задачи оценивания: с возрастанием ошибки оценивания «наказание» существенно возрастает.
Утверждение 2.14. При квадратичной функции стоимости байесовская оценка регрессионных параметров представляет собой апостериорное среднее оцениваемых параметров.
Действительно, при квадратичной функции стоимости задача (2.84) принимает вид
Л10-0Ц2 H(0b)d0 —> min. в &(у)
Воспользовавшись необходимым условием минимума J Ve II в - 01|2 ц(01 jOd0 —> 0от+1,
Є
получим уравнение
J||0-0||2H(0b)d0 = Om+1, е
из которого с учетом независимости величин 0 и 0 и нормировки условной плотности получим
0(^) = J 0Ц(01 у)й&- (2.85)
е
98
Если в (2.85) под у понимать конкретный результат проведенного эксперимента, то выражение в правой части (2.85) принято называть апостериорным средним вектора 0.
Итак, байесовская оценка при квадратичной функции стоимости является апостериорным средним оцениваемого параметра. И это очень важный для приложений результат. Для ряда априорных плотностей вероятностей СОе(в) и юе(е) и регрессионных моделей (2.67) интегрирование в (2.85) удается провести аналитически и получить оценку 0(у) в виде явной зависимости от экспериментальных данных у. Можно вычислить и минимальное значение байесовского риска, соответствующее оптимальной оценке (2.85). Для этого байесовский риск (2.82) при квадратичной функции стоимости представим в виде
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100