Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 29

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 73 >> Следующая

уе1пЦ.у|Є) = 0, —T-lni(j»|0) = O и в случае (2.4) конкретизиру-Эсг
ются следующим образом:
а~2'ї'т0>-'ГЄ) = 0, -иа2 + ||у —?Є||2 = 0.
Решая совместно эту систему, находим 0 = ('FT'F)-1'FTy, а2 =? \\у-«Рё||2. Оценка 0 вектора 0, как следует из этих результатов, совпадает с МНК-оценкой (2.24), однако оценка а2 дисперсии а2, оптимальная по критерию максимального правдоподобия, в отличие от ее аналога (2.37), оказывается смещенной.
Максимально правдоподобные оценки и в общем случае, особенно при малых объемах экспериментальных данных, имеют некоторое смещение и неминимальную дисперсию. Однако они обладают рядом достоинств, особенно проявляющихся при статистически независимых ошибках Є], Є2,s„ эксперимента и заключающихся в следующем.
1. Если для вектора 0 существует эффективная оценка, то уравнение максимального правдоподобия имеет единственное решение.
2. Если для вектора 0 существует достаточная оценка, то каждый корень уравнения правдоподобия является функцией достаточной оценки.
3. Максимально правдоподобная оценка является состоятельной и асимптотически, т.е. при стремлении объема экспериментальной выборки К бесконечности (п —> оо)5 эффективной и гауссовской (в смысле ее плотности вероятностей). На практике эта асимптотика проявляется достаточно хорошо уже при десяти независимых наблюдениях на один скалярный параметр, подлежащий оцениванию.
90
Эти свойства максимально правдоподобных оценок делают их весьма привлекательными при решении многих прикладных задач.
2.5. Метод максимума апостериорной плотности вероятностей
В регрессионных моделях, параметры которых оценивались в соответствии с методами наименьших квадратов и максимального правдоподобия, вектор параметров 0 классифицировался как неизвестный. И это было принципиально в том смысле, что никакая априорная информация об этом векторе при построении процедур оценивания не использовалась. Вместе с тем возможны ситуации, в которых опыт предшествующей работы с регрессионной моделью в аналогичных исследуемой прикладных задачах позволяет считать вектор параметров 0 принадлежащим некоторой генеральной совокупности с известной плотностью вероятностей о>е(0). В подобных случаях вектор 0 классифицируется как случайный с известной плотностью вероятностей, которая совместно с плотностью вероятностей ме(Б) экспериментальных ошибок и структурой модели отражает наши априорные представления о свойствах регрессионной модели. Этой информацией теперь надо рационально распорядиться, с тем чтобы повысить эффективность оценивания. Одним из способов, позволяющих это сделать, является метод максимума апостериорной плотности вероятностей. Существо метода заключается в следующем.
В рассмотрение вводится условная плотность вероятностей |j.(01 вектора параметров 0, полученная в предположении, что результаты эксперимента приняли некоторое фиксированное значение у. Найти эту плотность формально можно в соответствии с формулой Байеса:
ц(01 у) = ше(0) L(y 10) / C0j,O),
где сйуСу) — безусловная плотность вероятностей наблюдений у. Так как
ОО
Шу(у)= I <ав(0)Цу I0)d0,
91
то условная плотность выражается непосредственно через
функции а>е(0) и L(y 10):
ц(01 у)=(ов(0)Ду I в) / J <ов(в)1(у 10)d0. (2.77)
—оо
Таким образом, если известны априорные плотности вероятностей сое(0), сое(е) и модель экспериментальных данных у, например, в форме (2.4) или (2.67), то условная плотность jli(0|j>) принципиально вычислена.
Определение 2.17. Пусть проведен эксперимент, в котором вектор значений эндогенной переменной принял конкретное численное значение^. Если именно этот конкретный вектор подставить в условную плотность то получим функцию
Ц(вЫ, зависящую только от вектора 0. Эту функцию называют апостериорной плотностью вероятностей вектора регрессионных параметров 0.
Таким образом, отличие апостериорной плотности вероятностей »(в\у) от условной плотности Ц(вЬ) проявляется в том,- что у первой вектор у принимает не любое фиксированное значение, а именно то, которое соответствует проведенному эксперименту. При этом обе плотности традиционно обозначаются единообразно и из контекста ясно, о какой из них идет речь.
Определение 2.18. Пусть известна апостериорная плотность вероятностей Ц(вЬ). Тогда значение 0 вектора 0, при котором апостериорная плотность Ц(вЫ или, что то же самое, 1пц(0Ь) достигает максимума, называется оценкой, оптимальной по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей.
Итак, оценка, оптимальная по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей, находится из условия
0 = arg max In ]л(01 у). е
Так как знаменатель в (2.77) не зависит от 0, то практически этот критерий принимает вид
0 = argmax (lncoe(0) + ln Д^|0)). (2.78)
в
Снова ограничим рассмотрение случаем линейной гауссовской модели (2.4), положив в ней 0 ~ N(m&, К&), г ~ N(0, Кг).
92
Векторы 0 и 8 принимаются некоррелированными. Задача (2.78) при этих ограничениях конкретизируется следующим образом:
в = arg imx(const - 0,5(Є - тв)тKq (0 - шв) - 0,5(у - 'Рв)т Jf,1 (- Т(в)),
где, как и выше, под const понимается не зависящее от 0 слагаемое. Необходимое условие экстремума
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100