Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 28

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 73 >> Следующая

Основой метода является совместная плотность вероятностей экспериментальных данных у, полученная при фиксированном значении регрессионных параметров 0, т.е. условная плотность вероятностей Ду|в). Чтобы ее найти, необходимо знать модель вектора у и статистические свойства вектора е. Будем для определенности ориентироваться на регрессионную модель (2.67) как более полную. Пусть со?(е) — плотность вероятностей вектора є и эта плотность известна. Проблема ее поиска здесь не обсуждается. При фиксированных параметрах 0 причиной «случайности» вектора у в (2.67), как уже отмечалось, является вектор е. Поэтому знания плотности (0Е(в) вполне достаточно для вычисления условной плотности L(y 10). Векторы у и є в этом случае различаются только математическими ожиданиями М{у\в} =?(0) + М{е), и можем записать L(у|в)=со?(е)|в=^_ф(в). Таким образом, условная
плотность L(y 10) получается из совместной плотности вероятностей сое(є) ошибок є заменой аргумента е на — ?(0).
Определение 2.15. Пусть в процессе проведения эксперимента эндогенная переменная Yприняла значения у = Гу(, у2,..., уп]Т и построена условная плотность вероятностей L(y|0). Если теперь в выражении условной плотности аргумент заменить на
87
конкретные результаты проведенного эксперимента, получим функцию, зависящую только от вектора 0. Эту функцию называют функцией правдоподобия.
В последующем по традиции функцию правдоподобия будем обозначать так же, как и условную плотность, — L(y | 0). Однако следует иметь в виду, что условная плотность L(y | О) является (т+1 )-параметрической функцией вектора у; в то же время функция правдоподобия, в составе которой вектор у фиксирован, рассматривается как функция вектора 0.
Определение 2.16. Значение © вектора 0, при котором функция правдоподобия L(y 10) или, что то же самое, функция lnZ,(j>|0) достигает наибольшего значения, называется максимально правдоподобной оценкой вектора 0 регрессионных параметров.
Таким образом, максимально правдоподобная оценка находится из условия _
0 = arg maxlnl(j;|e). (2.74)
в
Смысл этого условия таков: если в результате проведения эксперимента эндогенная переменная Y приняла конкретные значения у, то в качестве оценки 0 следует принять то значение вектора 0, при котором вероятность наблюдать в эксперименте именно этот вектор у оказывается наибольшей.
Вычислительная процедура поиска максимально правдоподобных оценок в случае модели наблюдений (2.67) может быть организована с использованием тех же принципов, что и при поиске МНК-оценок. Для этого достаточно общий подход (2.69) «адаптировать» к задаче максимизации логарифма функции правдоподобия.
Рассмотрим более детально случай линейной регрессионной модели (2.4) и гауссовского вектора е. Пусть є ~ N(0, Ке), т.е.
и>е(г)= і 1-----=єхр|-^єтй:є~1е|.
рп)"\Ке\ I 2 J
Как следствие, получаем
In Цу 10) = const - 0,5(у - те)тяв-,(у - те),
, 1 Л
где const = 1п-т===, т.е. не зависящее от 0 слагаемое.
т/(2я)я|*,|
88
Воспользовавшись необходимым условием экстремума VlnZ^Ol 0) = 0, которое обычно называют уравнением правдоподобия, получим уравнение
Ле-'(у-те) = о,
из которого следует максимально правдоподобная оценка вектора 0 при линейной гауссовской модели
0 = (YTtf?-|'Frl?1XfV. (2.75)
Если сопоставить эту оценку с МНК-оценкой (2.24), легко обнаружить ее отличительную особенность: оценка (2.75) учитывает коррелированность экспериментальных ошибок в объеме ковариационной матрицы Къ. Если эти ошибки не коррелирова-ны, т.е. Kt = о2Епхп, то максимально правдоподобная оценка (2.75) вырождается в МНК-оценку (2.24), что является вполне ожидаемым и естественным результатом. Заметим, что иногда оценку (2.75) получают не в терминах правдоподобия, а путем модификации метода наименьших квадратов, сопровождаемой заменой целевой функции (2.20) / = |[у — ?0||2 на функцию J= (у — 'F0)TAe-1 (у - ?0) с последующей ее минимизацией. При подобном подходе оценку (2.75) принято называть обобщенной МНК-оценкой.
Изучим основные свойства оценки (2.75). Прежде всего покажем, что она является несмещенной. Действительно,
Л/{0} = (?ТА,Г140“ l4TKf1 М{у) =
= CPTKt~ 1х?)~ l4>TKt~1 М{ЧЄ + є} = Є.
Далее найдем ковариационную матрицу ошибки tj = 0 — 0. Имеем Т] = (?TAe_1'F)_1,FTJfe_1e и, следовательно,
А,, = Л/{тіГ|т} = (1FTAe~1,F)-1. (2.76)
При некоррелированных ошибках получаем уже известный результат (2.27). Несложно убедиться, что соотношение (2.76) при условиях (2.4) и е - N(0, Kt) соответствует эффективной оценке. Действительно, матрица Фишера, определяемая в соответствии с (2.10), в данном случае оказывается равной Ф = —V2 InL(y 10) = 'FTJfE-,'F. Из сопоставления этого рсзульта-
89
та с (2.9) и (2.76) следует Кц = Ф-1, что и является доказательством эффективности максимально правдоподобной оценки при линейной гауссовской модели экспериментальных данных.
Если Кг = а2Епхп, но дисперсия ст2 неизвестна, метод максимального правдоподобия позволяет легко решить проблему оценивания неизвестной дисперсии, совместив соответствующую процедуру с поиском оценки 9. В этом случае функция правдоподобия максимизируется в (т + 2)-мерном пространстве по переменным 9, ст2. Уравнения правдоподобия приобретают вид 0
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100