Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 26

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 73 >> Следующая

Проблема стохастической сходимости или, по иной терминологии, стохастической устойчивости решений разностных уравнений интенсивно развивается в последние десятилетия (напри-
81
мер, [18]). Не ставя перед собой задачи детального проникновения в существо проблемы, кратко остановимся на ряде основополагающих понятий.
Прежде всего отметим, что понятие стохастической сходимости не является однозначным (впрочем, как и детерминированным) — бывают сходимость по вероятности, ^-сходимость и частный ее вариант среднеквадратическая сходимость, экспоненциальная сходимость, сходимость с вероятностью единица (почти наверное сходимость) и др. Из всех этих видов сходимости наиболее сильной является сходимость с вероятностью единица, так как при выполнении соответствующих условий все реализации случайных последовательностей, получаемые по правилу (2.71) на множестве значений случайного вектора у, кроме, быть может, реализаций с нулевой вероятностью, сходятся к вектору 0 в обычном понимании сходимости, соответствующем определению (2.11). Поэтому нас будут интересовать именно условия сходимости с вероятностью единица.
Для последующего изложения удобно алгоритм (2.71) переписать в отклонениях относительно стационарной точки 0. С этой целью введем обозначение \i(ki = 0(^— 0. Тогда можем записать
ц<*+1> =nw -O.S/Qte + vn^V^dY, (2.72)
О
где матрица Q(0) является матрицей Якоби вектора (Z)T(0)i)(0))-1V/(0), вычисленной в точке (0 + YM^), т.е.
Q(0 + YfiW) = -^((Z>T(e)Z>(e)r' V/(0)), d0
e=e+Ynw; д(Є)=-^т(в).
d0
Интеграл в (2.72) формирует отклонение вектора (Dik))TD(k)rl V/(0^) из (2.71) от его значения в стационарной точке 0, т.е. относительно 0от+і [14]. В обозначениях (2.72) проблема поиска условий стохастической сходимости последовательности векторов 0(О), 0(1), 0(2),... к точке 0 эквивалентна задаче поиска аналогичных условий сходимости последовательности ц(0>, ц(1), ц(2),... к точке 0т+1. Дадим теперь определение понятию стохастической сходимости с вероятностью единица.
82
Определение 2.12. Будем говорить, что последовательность Ц<°), [Г1*, ц(2), ... С вероятностью единица СХОДИТСЯ К точке 0т+1, если при V5 > О Зр(5) > 0 такое, что для всех ||ц(0)|| < р(5) выполняется lim Л sup ||ц^||>5[ = 0, где как обычно, — вероят-
N—>ao J
ность соответствующего события.
По существу, это определение означает следующее: в случае сходимости с вероятностью единица почти все реализации случайной последовательности векторов {ц^} (за исключением множества реализаций меры нуль), образованные по правилу
(2.72) при различных значениях вектора у и начальных значениях ИЗ некоторой окрестности ТОЧКИ 0т+1, сходятся к этой точке в
обычном детерминированном смысле. Величина sup||n(^||
kZN
представляет собой наибольшее уклонение реализаций от нулевого значения, начиная с (N + 1)-го элемента последовательности и до бесконечного. Если указанное наибольшее уклонение для всех реализаций при N -» «> стремится к нулю, то это означает сходимость к нулю всех реализаций. Неравенство в определении 2.12 означает, что доля несходящихся реализаций стремится к нулю.
Проблема выявления условий сходимости с вероятностью 1 весьма сложна. Наиболее общим математическим подходом к ее решению в настоящее время является применение стохастических функций Ляпунова с использованием свойств супермартингалов.
Определение 2.13. Положительно определенная непрерывная функция V(x) векторного аргумента х, обладающая свойствами F(0) = 0, У(х) конечна при всех х с конечной нормой ||дс|| и У(х) -» —»оо при М—»°°, называется функцией Ляпунова.
Определение 2.14. Пусть случайная последовательность векторов го, Z\, Zj, ••• обладает свойствами: М{г*} < °°, М{г^ го, Z\, ¦¦¦, Zk-\) ^ Z/c—i- Тогда эта последовательность называется супермартингалом.
Применение введенных понятий для выявления условий сходимости с вероятностью 1 последовательности векторов ц(0), ц(1), ..., образованных в соответствии с (2.72), к точке 0m+i основывается на следующем утверждении.
83
Утверждение 2.13. Пусть Г(ц) — функция Ляпунова и последовательность К(ц(0)), К(ц(1)), У(ц^2)), ... значений этой функции, вычисленная на элементах случайной последовательности является супермартингалом. Тогда последовательность ц<0), цЯ, ц(2),... с вероятностью 1 сходится к точке 0от+1-
Мы не будем останавливаться на доказательстве этой теоремы и ограничимся некоторыми комментариями к ее физическому содержанию. С этой точки зрения величину можно интер-
претировать как «обобщенную энергию» некоторой динамической системы, описываемой разностным уравнением (2.72). То обстоятельство, что функция Ляпунова оказывается супермартингалом, означает уменьшение в среднем энергии в точке по сравнению с ее значением в предыдущей точке а это влечет за собой соответствующее уменьшение величины ||ц(Л)||.
Применим утверждение 2.13 для анализа стохастической сходимости последовательности (2.72). С этой целью введем в рассмотрение стохастическую функцию Ляпунова У(ц) = ||ц|| и рассмотрим условное математическое ожидание
М11|*|‘+|>|1|*|0>У1',и<2)..цда)-
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100