Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 25

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 73 >> Следующая

(2.24) результату: Д0(О) = ((Z)(0))T D(0)r'(D(0))T(y -_?(0<О))). Это позволяет найти первое приближение 0(|^ к оценке 0
0(1) = ё(0) + ((Z)(0))T D(0)rl(D<0))r(y - 'F(0(O))).
Если теперь функцию Т(0) линеаризовать в окрестности точки 0(1) и повторить всю операцию, получим второе приближение. Обобщение процесса линеаризации с последующей минимизацией квадратичной целевой функции порождает следующее релаксационное правило последовательного приближения к МНК-оценке:
0(*+1) =0<*) + ((D(k})T D(kyr\D(k))T(y - T(0W)),
(2.70)
* = o,i,....
Несложно заметить, что сомножитель (D^)T(y — ?(0^)) в
(2.70) коллинеарен антифадиенту функции J, вычисленному в точке 0(^:
(Dik))T(y - 4&к))) = -O,5V/(0W).
Поэтому правило последовательных вычислений (2.70) можно представить в эквивалентной форме:
0(*+П =©(*) _ 0,5((О{к))т ІЇк)Г1ЧЛв{к)), к = 0, 1, .... (2.71)
Следовательно, построенный алгоритм можно классифицировать как градиентный со специфичной матрицей весовых коэффициентов. В сопоставлении с (2.69) имеем hk — — ((Z)(^)Tx
79
xrtk)ylVJ&k)), ak = 0?5 = const. Покажем, что в первом приближении этот алгоритм определяет минимизирующую последовательность. С этой целью сопоставим значения функции / в точках 0^+1^ и 0^, снова использовав частичную сумму ряда Тейлора:
/(0(*+D) = /(0(*) _ о,5((/>(*>)т D^r'VJie(к))) - J(e(k)) -
- 0,5 (V/(0w))T((Z>w)T Z>(^)_1V/(0w).
Так как матрица (D^)TD^ является положительно определенной [26], получаем /(0(*+1)) — /(0^) < 0, т.е. в рамках используемых допущений последовательность величин, найденных в соответствии с (2.71), действительно является минимизирующей. Заметим, что факт выполнения этого неравенства можно непосредственно контролировать в процессе проведения расчетов в соответствии с (2.71) и в случае его нарушения коэффициент
0,5 в (2.71) может быть уменьшен до значения, обеспечивающего получение минимизирующей последовательности. Вычисления прекращаются на некотором 5-м шаге, если на этом шаге срабатывает выбранное правило останова, имеющее, например, вид ||V/(0(i))|| < v, где v — назначенная малая величина. В этом случае принимается 0 « 0^. Полезно обратить внимание на следующее: если минимизирующая последовательность оказывается и сходящейся, то в точке 0, как следует из (2.71), должно выполняться условие W(0) = 0, т.е. точка 0 является стационарной точкой функции (2.68). Это означает, что в случае сходимости алгоритм
(2.71) определяет одну из точек локального минимума целевой функции (2.68). Эта функция в силу ее нелинейной структуры может оказаться многоэкстремальной, и алгоритм (2.71) приводит к одному из экстремумов, ближайшему в некотором смысле к начальной точке 0 . Поиск глобального минимума в задаче (2.68) требует привлечения дополнительных методов многоэкстремальной оптимизации.
Прежде чем обсуждать проблему сходимости алгоритма
(2.71), обратим внимание на различие смыслового содержания внешне одинаковых обозначений в алгоритмах (2.50) и (2.71): в рекуррентном методе наименьших квадратов (2.50) символ означает оптимальную оценку вектора 0, найденную по экспериментальным данным уі, у2, ..., Ук¦ В то же время в (2.71) символ 0W представляет собой к-е приближение к оценке 0, которая ищется по всем наблюдениям yh у2,..., уп.
80
Существующие пакеты прикладных программ, о которых упоминалось во введении, позволяют решать задачи нелинейного оценивания параметров в подобных (2.68) задачах без глубокого проникновения в существо используемого алгоритмического обеспечения и его математических особенностей. Но чтобы общение с этими пакетами было не механистическим, а созидательным процессом, пользователь должен обладать определенной математической культурой, позволяющей ему осознанно воспринимать существо используемых вычислительных процедур и сопутствующих им математических закономерностей. Поэтому коротко остановимся на одной важной характеристике алгоритма
(2.71), определяющей его принципиальную «жизнеспособность» и известной как сходимость последовательности точек 0(О),0(1), 0^2), ..., определяемых средствами этого алгоритма, к некоторой точке 0.
При обсуждении сходимости алгоритма (2.71) возможны два концептуально различных взгляда на эту проблему. При первом из них вектору экспериментальных данных, участвующий в формировании градиента функции J, рассматривается как конкретный числовой вектор, соответствующий результатам проведенного эксперимента. И в этом случае можно найти условия, обеспечивающие сходимость последовательности полученных с помощью правила (2.71) точек ... к некоторой точке0
именно при этом конкретном векторе у. Однако если теперь провести другой эксперимент при тех же значениях экзогенных переменных, то в силу случайной природы эндогенной переменной получим новую реализацию у экспериментальных данных, и ранее полученные условия сходимости при этой реализации, вообще говоря, могут не выполняться. Поэтому нужны такие условия сходимости, которые будут обеспечивать сходимость при всех п-мерных реализациях эндогенной переменной, образуемых в соответствии с (2.67). В первом случае принято говорить о детерминированной сходимости, во втором — о стохастической. Для нас больший интерес представляют условия стохастической сходимости, так как именно они гарантируют успешную работоспособность алгоритма (2.71) при всех возможных исходах проводимого эксперимента.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100