Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 24

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 73 >> Следующая

Для линейных регрессионных моделей, построенных с использованием множества (1.18), величина (2.66) позволяет дополнительно решить вопрос о целесообразности включения /-Й экзогенной переменной в состав величин, влияющих на эндогенную переменную. Отсутствие такого влияния можно интерпретировать как равенство 0/° = 0. Тогда, если окажется |0J < Ъ^та/2, то с вероятностью 1-а целесообразно считать, что /-я экзогенная переменная не оказывает влияния на эндогенную переменную; при противоположном неравенстве гипотезу Hq: 0, = 0 следует отвергнуть с вероятностью а ошибиться.
Выражение (2.66) позволяет построить доверительные интервалы для параметров регрессионной модели. Действительно, с вероятностью 1 — а должно выполняться
«а/2 * Є‘д@І < -“а/2 => + °іиа/2 < 0/ * ®/ " «/«а/2. / = 0,1, ..., т.
Здесь иа/2 есть а/2-квантиль распределения Стьюдента с rt — т — 1 степенями свободы. Если учесть уже доказанное для данного случая равенство wiooa/2 = —-«а/2, т0 найденный интервал запишется так: 0, — д/И’юоа/г < 0/ - 0/+ ®№\ооа/2-
76
2.3.9. Нелинейные регрессионные модели.
Проблема стохастической сходимости
Характерная особенность рассмотренных выше регрессионных моделей проявляется в их линейной зависимости от параметров ©о, ©і, ®т. Вместе с тем не исключается перспектива приме-
нения моделей с нелинейной зависимостью от регрессионных параметров, подобно тому, как это было в случае производственной функции Кобба—Дугласа. Так, если множество потенциальных функций регрессии задается соотношением (1.20), то вектор экспериментальных данных у, определенный подобным (2.4) образом, будет представлен выражением
у = Т(0) + е, .ye R", ве Rm+1, (2.67)
в котором вектор-функция 'Р(в) определена естественным для (1.20) образом:
V*(*2>e)
У*(*Л>Є)_
Как и ранее, МНК-оценка в вектора параметров 0 ищется в соответствии с условием
/=ІЬ-Ч»(Є)||2^шіп, (2.68)
в
причем стационарные точки 0 функции / удовлетворяют традиционному условию V/( 0) = 0m+i. Однако из-за нелинейного включения вектора 0 в состав минимизируемой функции J найти оценку 0 как явную функцию 0 (у) экспериментальных данных, в отличие от (2.24), не удается. Поэтому применяют различные численные алгоритмы нелинейного оценивания [25]. Несмотря на многообразие подобных методов, можно выделить некоторые общие принципы, в соответствии с которыми конструируется большинство из них. Детальный анализ этих принципов не является целью настоящего пособия. Однако некоторые справочные сведения, касающиеся процедуры решения задачи (2.68), привести полезно.
V(0)= ?
/t=l
77
Определение 2.9. Говорят, что вектор he Rm+I задает направление убывания функции /(0) в точке 0, если при всех малых (3 > О выполняется условие У(0 + (ЗА) < /(0).
Утверждение 2.12. Для того чтобы вектор Л задавал направление убывания функции /(О) в точке О, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялось условие (Л, V/(6)) < 0, т.е. скалярное произведение вектора А и вычисленного в точке 0 градиента функции /(0) должно быть отрицательным.
Доказательство этого утверждения, несмотря на его простоту, мы опускаем, так как оно несущественно для последующего изложения.
Определение 2.10. Последовательность точек 0<о\ 8(1\ 0(2\ ... в пространстве Rm+1 будем называть минимизирующей функцию /(0), если выполняются условия /(0(О)) > /(0(|> > /(0(2) > ... .
Определение 2.11. Последовательность точек 8(0), 0(|), 0(2),... в пространстве R'”+1 будем называть сходящейся к некоторой стационарной точке 0 є Rm+I функции /(0), если при V8 > 0 3N(S) > 0, так что при к > N выполняется условие ||0^ — 0|| < 5 или, что эквивалентно, lim || 0^ — 0|| = 0 при к —?
Заметим, что в общем случае минимизирующая и сходящаяся последовательности могут не совпадать.
Основываясь на введенных понятиях, можно предложить правило вычисления последовательности точек 0(О\ 0(|*, 0(2),... в пространстве Rm+I, минимизирующей функцию /(0). В достаточно общем виде это правило таково:
ё<*+1> = в(к) + акНк, к = 0, 1, 2,..., (2.69)
где вектор hk задает направление убывания функции /(0) в точке &(к\ а скалярная величина ак>0 определяет величину шага перемещения. В зависимости от того, как конкретно выбираются параметры а/с и hk, получают конкретный вычислительный алгоритм минимизации функции /(0). В частности, если принять hk = — V/(0^), что соответствует утверждению 2.12, то получим семейство градиентных алгоритмов. Из всего многообразия подобных методов остановимся на одном — методе последовательной линеаризации. Суть его заключается в следующем.
Пусть в соответствии с какими-либо предварительными соображениями можно указать предполагаемое значение 0^ оцен-
78
ки 0. Если таковые соображения отсутствуют, примем 0(О) = 0т+1- Назовем эту величину нулевым приближением к оценке 0. Полагая функцию Y(0) дифференцируемой, разложим ее в окрестности точки 0(О) в ряд Тейлора, офаничив разложение первой частичной суммой. Приближенно получим:
'Р(в) = ?(0(О)) + D(0)А0(О), Д0(О) = 0 - 0(О), Z)(0) = dT(0<O))/d0.
Подставив это разложение в (2.68), получим функцию J, квадратично зависящую от отклонения А0(О). Найдем вектор А0(О), минимизирующий J. Очевидно, эта задача аналогична задаче (2.22), решается теми же средствами и приводит к подобному
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100