Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 23

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 73 >> Следующая

Векторы \|Tq, \|Г], ... ,\ут являются линейно независимыми, так как rank Y = т + 1 < п. Построим подмножество <7”+|с R", которое состоит из векторов z, допускающих разложение по векторам
Г т
\|fo, •••> Vm как по базису, т.е. Gfn+l = jz6R":z = a, eR
[ (=0
и в пространстве R” образует линейное (т + 1)-мерное подпрост-
т
ранство. Рассмотрим вектор 4*0= ?©/?/-Из этого разложения
/=о
следует ?0 е Gw+1. Величина J = \\у — *F0||2 представляет собой квадрат расстояния между векторами у и *F0. Тогда величина min/определяет наименьшее расстояние от вектора >> до подпространства G^+1, т.е. расстояние до такого вектора z из С^+1, который является ортогональной проекцией Пр вектора у на множество C^+1: z = ПруСГ1*1. С другой стороны, min / = \\у - Т0||2 и,
следовательно^ Y0 = 'F('FT4T14'Ty
= z . Но отсюда вытекает, что матрица Т(ТтТ)-1Тт является матрицей ортогонального проецирования на подпространство СГ 1. Эта матрица любой вектор, принадлежащий множеству Gm+i, преобразует в себя, т.е. из условия гє<7”+1 следует 'F('PTY)_l'FTz = z. Так как \|f(,..., \|rm є
є , то равенства (2.63) справедливы. Заметим, что непосредственно это равенство вытекает из тождества ТО? 'F)~I= Т.
Следствие. Так как вектор s является столбцом матрицы Y, а именно s = \|fo, то справедливы равенства
'F('FT'Fr1'FTs = 5, sT'F('FT'Fr1'FT = sT. (2.64)
Утверждение 2.11. Матрица 'F(YT,F)_1,FT—— ssT является идемпотентной и ее ранг равен т. п
Доказательство проводится непосредственно:
('F('FT'Fr1'FT— ^ ssT)2 = ^ ssTssT -
- - s/'F('FT'Fr1'FT - - 'F('FT'FrI'FT ssT = 'F('Ft'FT1'Ft- - ssT,
73
т
где учтены условия (2.64) и очевидное j ї = я; аналогично rank ('F('FT'F)”1'FT - ^ ssT) = Sp ('F('Ft'FT1'Ft - ^ ssT) =
= Sp ТтТ(ТтТ)-1 - Sp “ ssT = m.
Воспользовавшись выражением (2.62) и утверждением 2.11, теперь можем числитель в (2.61) представить в виде
|we-j*||2 /а2=-
Trxp(4fT4f)-lWT-^ v п
где е/а —стандартный гауссовский вектор.
Так как матрица 'F('FT'F)_I'FT — — ssT является идемпотент-
ной, то в соответствии с утверждением 2.5 эта величина подчинена х2(/я)-распределению. Таким образом, выражение (2.61) может быть представлено в эквивалентной форме
1
—W
Y ——т-------
1
п-т-1
где w ~ %2 (т), v ~ %2(я — т— 1) — случайные величины.
Ранее при доказательстве утверждения 2.8 было показано, что при гауссовском векторе е вектору — ?0 и оценка а2 независимы. Но тогда независимы вектор Y0 — ys и та же оценка а2, т.е. числитель и знаменатель в (2.61). Последнее порождает независимость случайных величин w и v, а это означает, что случайная величина у при справедливости гипотезы Но подчинена распределению Фишера с т степенями свободы числителя и я — т — 1 степенями свободы знаменателя, т.е. у ~ F(m, я — т — 1), что позволяет сформулировать следующий критерий проверки гипотезы Но (или альтернативы Hi).
На основе экспериментальных данных построим величину
- II2 1
где 0 — МНК-оценка (2.24) регрессионных параметров, а2- оценка (2.37) дисперсии экспериментальных ошибок.
Зададимся доверительной вероятностью q и по таблицам или с помощью вычислительных средств найдем ^-квантиль ид распределения Фишера с т, п — т — 1 степенями свободы. Тогда если окажется у < ид, то с вероятностью q считается справедливой гипотеза Но; если же у > ид, то с вероятностью 1 — q ошибиться предпочтение отдается альтернативе Н\.
Проверка гипотезы Hq: 0/ = 0/° (/ = 0, 1, ...,т).
Пусть в соответствии с какими-либо априорными соображениями появились основания предполагать, что параметр 0/ регрессионной модели принимает гипотетическое значение 0/°. Требуется на основе имеющихся экспериментальных данных подтвердить или опровергнуть это предположение. С этой целью в рассмотрение вводятся две гипотезы:
Н0: ©/ = 0/°; Н1: ©,*©/>.
Анализ ситуации проводится следующим образом. В случае гауссовской регрессионной модели, как было показано выше, в ~ ЛГ(в, ct2('Ft'FT1 ) и, следовательно, при справедливости гипотезы Но 0,- — 0/ ~ N(О, ст,-2), ст,2 = ctVh, гДе ?н — элемент матрицы ('FT'F) . Тогда случайная величина (©, - ©/Vct, ~ N(0,1), т.е. представляет собой стандартную гауссовскую случайную величину. Построим случайную величину
ё,-0°
\(п-т- l)d2 1 ’
\ а2 п-т-1
где ст2 = |[у - ?в||2 /(п-т- 1).
Так как случайные величины, формирующие числитель и знаменатель этого выражения, статистически независимы и
/jj _ _ Ug2
------—%2(п-т-1), то в соответствии с определением
75
Y ~ t(n — m — 1). Если учесть, что ст,2 = сг2\у„ и а2 = аг2іу„, то оказывается удобным представить
©. _©9
y = —Lr:—(2.66)
что справедливо, таким образом, при выполнении гипотезы Hq. Принятие последующего решения осуществляется по уже известной схеме (см. вывод критерия (1.28)). В соответствии с результатами регрессионного анализа находится величина (2.66). Далее при выбранной доверительной вероятности 1 — а по таблицам для распределения Стьюдента с п — т — 1 степенями свободы или машинным образом находится 100а/2-процентная точка wiooa/2-Если окажется |у| < wiooa/2> т0 с вероятностью 1 — а считается справедливой гипотеза Но; при противоположном неравенстве, т.е. в случае М > W|ooa/2> гипотеза Но отвергается как не согласующаяся с экспериментальными данными с вероятностью а ошибки первого рода.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100