Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 22

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 73 >> Следующая

В эконометрических задачах существенная часть послерег-рессионного анализа связана с применением так называемого коэффициента детерминации. Чтобы его определить (здесь возможны различные подходы), рассмотрим вариацию (разброс) вар(у) экспериментальных данных (2.4) относительно их среднего значения, которую по определению примем равной
вар (у) = - X (Уі-У)2 =-\\y~ys II2 = -O' - ^)Т(У - ys),
п /=1 п п
где y = -iyh S = [ 1 1 ... 1]тeR”.
Пі=і
Введем обозначения: /= — оцененные значения регрес-
сионных составляющих в наблюдениях у, ё = у —/ есть оценки экспериментальных ошибок, и представим
eap(y) = -(y-f + f-ys)T(y-f + f-ys) = п
=-(У - лт(у - /)+-(/ - 5*)Т(/ - ys)+-(У - /)т(/ - ys) =
П П П
1 - 2 - (153) =—ітї + вар(/) +—iT(f-ys), п п
1 ^ _ Т ~ _
где величина eap(f) = -(f-ys) (f-ys) характеризует разброс
регрессионных составляющих наблюдений относительно среднего значения наблюдений. Покажем, что последнее слагаемое в (2.53) равно нулю. Действительно, имеем:
ет/= етТё = ётТте, е = у- Ч'в = '?в + е-'?('?т'?Г1'Рт('Рв + е) = (?-?('FT’FT1'FT)e.
69
Следовательно,
YTi = - Т(Тт?Г1Тт)в = Om+l =>
=> ет/ = 0.
(2.54)
(2.55)
Рассмотрим структуру матрицы Тт, вытекающую из ее определения:
YT = (v(jci) v(x2) ?(*з) ••• ?(*«)] =
Vo(*l) Vo(*2> - Vo(*«) Vi(*i) W\(x2) ... V!(JC„)
(2.56)
_?*<*l) V*(*2) ••• Vm(xn)_
где \|/oW, Vi(*), •••, VmW ~ компоненты вектора у(*).
Тогда из равенства (2.54) следует
? xFA;(дс/)ё,- =0, V& = 0, 1, 2, ..., т, (2.57)
»'=1
где є,- — і-й компонент вектора є.
Регрессионные модели обычно конструируют таким образом, что компонент ©о вектора регрессионных параметров 0 имитирует «постоянную составляющую» функции регрессии, не зависящую от экзогенных переменных. Для этого обычно полагают Уо(*) = 1. Но тогда из (2.57) при к = 0 следует
Совместное выполнение условий (2.55), (2.58) приводит к то-
И у
? е, =е s = 0.
(2.58)
му, что в (/— ys) = 0, и выражение (2.53) упрощается:
(2.59)
п
Определение 2.8. Коэффициент
вар (у) вар (у) || .у-j* ||2
(2.60)
называется коэффициентом детерминации.
70
Содержательно этот коэффициент определяет, какая часть вариации экспериментальных данных объясняется разбросом регрессионной (детерминированной) составляющей этих данных. Из определения вытекает К/е [0, 1]. Если К/ = 0, то eap(J) = О, т.е./=?0 = ys=> ?Т(*/)в = у, і = 1,2,..., я. А это можно интерпретировать как независимость эндогенной переменной от экзогенных переменных. Если же К/ = 1, то є = 0„, т.е. регрессионная поверхность проходит точно через все экспериментальные точки Уі (/ = 1, 2,..., я) в смысле выполнения равенств у, = W,) 0 (/ = 1, 2, ..., я). Разумеется, если положить т + 1 = я и матрицу 'Ve Rnxm выбрать невырожденной, это условие будет достигнуто, так как МНК-оценка (2.24) в этом случае приобретает вид
0 = ('Ft'F)~'Ttj = Т_1(Тт)"1Тту = ЧГ1У => Y0 =
Однако это условие, вообще говоря, не является признаком хорошо подобранной регрессионной модели, так как такая модель будет «отслеживать» все случайные составляющие е в результатах эксперимента у, а это недопустимо.
Проверка гипотезы Hq: ©і = @2 = ... = ©m = 0. Введенный коэффициент детерминации широко используется для подтверждения (или опровержения) предположения о том, что эндогенная переменная действительно зависит от выбранных экзогенных переменных. С этой целью в рассмотрение вводятся две гипотезы:
Но: ©і = ©2 = ... = &т — 0;
Hj. ©о, ©j, ©2, ..., 0/я Ф 0.
В качестве «индикатора» правомочности одной из этих гипотез используется величина
Ка п-т-1
Y=---- ,-------->
1 -К] т
которая с учетом определения коэффициента детерминации преобразуется к виду
ЦТО-ужЦ2 п-т-1
Y llj'-vell2 т '
Для последующих доказательств это выражение целесообразно представить так:
71
1 live -ys II2 1 II TO-foil2
y = .
m
1
m
(2.61)
\y-4?el
n-m-l
Найдем распределение этой величины при справедливости гипотезы Но . Прежде всего обратим внимание на знаменатель. Если мысленно его умножить и разделить на число п — т - 1, то а2
величина (п-т-1)—как было уже доказано, будет подчинена а2
^-распределению с п — т — 1 степенями свободы. Следователь-
v
но, знаменатель в (2.61) можно представить как “ ~ г> гдеслу-
- 2/ і \ п-т-і
чайная величина v ~ % (п — т — I).
Рассмотрим теперь числитель в (2.61). С учетом модели наблюдений (2.4) и определения МНК-оценки (2.24) находим:
__ I т I т I т
ys = —SS у - —55 4*0 + —55 е,
П П П
?0 = 'F('FT'F)~l'FTy = Ч'в + 'F('FT'Frl'F1e
и, следовательно 'F0-fo =
і л ~ 1 Т
Е„ —ss
we+
V(4fT4'r1WT--ssT
п
є.
Если справедлива гипотеза Но, т.е. &\ = ©2 = ... = &т = 0, то Y0 = 5©о, так как первый столбец матрицы Y состоит из единиц, т.е. представляет собой вектор s. Но тогда
17 * т
Е„------------55
we
Ґ F 1 Т
Еп-------55
V П /
s®0 = °п
и получаем упрощенное выражение 4?e-ys =
4'(4'T4')~14'T--ssT
Є.
(2.62)
Докажем теперь важное для последующего вывода утвержде-
ние.
72
Утверждение 2.10. Пусть матрица ? = [\|г0 Vi ... гДе ?/<= R" — столбцы матрицы. Тогда справедливы равенства
= V/, і = 0, 1. •••> т. (2.63)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100